कक्षा 10 गणित अध्याय 8: त्रिकोणमिति का परिचय | नोट्स, प्रश्न-उत्तर व MCQ टेस्ट | Bihar Board
अध्याय 8 : त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry)
छह त्रिकोणमितीय अनुपात, विशेष कोणों के मान, पूरक कोण और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ — आसान हिंदी में चरणबद्ध अध्ययन।
📖 अध्यायवार नोट्स✍️ हल सहित प्रश्न📝 50 MCQ Test
📘 1. अध्याय परिचय — त्रिकोणमिति क्या है?
मैं जब भी यह अध्याय अपनी कक्षा में शुरू करता हूँ, छात्रों से एक सवाल पूछता हूँ — "अगर आपको किसी ऊँचे ताड़ के पेड़ या कुतुबमीनार की ऊँचाई नापनी हो, तो क्या आप फीता लेकर ऊपर चढ़ेंगे?" छात्र हँसते हैं और कहते हैं कि यह मुमकिन नहीं है। इसका वैज्ञानिक हल है — त्रिकोणमिति (Trigonometry)। सूर्य की धूप से जमीन पर बनने वाली छाया और कोण की मदद से हम बिना चढ़े सटीक ऊँचाई निकाल सकते हैं!
त्रिकोणमिति (ग्रीक शब्द: Tri = तीन, Gon = भुजा, Metron = मापना) गणित की वह शाखा है जिसमें समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन किया जाता है।
इस अध्याय में क्या सीखेंगे?
- समकोण त्रिभुज में सम्मुख भुजा (लंब), संलग्न भुजा (आधार) और कर्ण की सटीक पहचान।
- छह त्रिकोणमितीय अनुपातों (sin, cos, tan, cosec, sec, cot) की परिभाषा।
- 0°, 30°, 45°, 60° और 90° के विशिष्ट कोणों के मान याद करने की ट्रिक।
- पूरक कोणों (Complementary Angles) के परिवर्तन सूत्र।
- तीनों मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को सिद्ध करना और उन पर आधारित प्रश्न।
चित्र: कोण A के सापेक्ष सम्मुख भुजा, संलग्न भुजा और कर्ण की पहचान
💡 शिक्षक की क्लासरूम ट्रिक: छात्र सबसे ज्यादा गलती 'लंब' और 'आधार' पहचानने में करते हैं। हमेशा याद रखें: कर्ण (Hypotenuse) कभी नहीं बदलता (यह 90° के सामने ही रहेगा)। लेकिन जिस कोण पर आप विचार कर रहे हैं, उसके ठीक सामने वाली भुजा 'लंब' (सम्मुख) होगी और साथ लगी भुजा 'आधार' (संलग्न) होगी!
📐 2. छह त्रिकोणमितीय अनुपात — परिभाषा एवं सूत्र
समकोण त्रिभुज ABC में ∠B = 90° पर विचार करते हुए कोण A के सभी छह अनुपात इस प्रकार परिभाषित हैं:
sin A = सम्मुख भुजा (लंब) / कर्ण = BC / AC
cos A = संलग्न भुजा (आधार) / कर्ण = AB / AC
tan A = सम्मुख भुजा (लंब) / संलग्न भुजा (आधार) = BC / AB
cosec A = कर्ण / सम्मुख भुजा = AC / BC = 1 / sin A
sec A = कर्ण / संलग्न भुजा = AC / AB = 1 / cos A
cot A = संलग्न भुजा / सम्मुख भुजा = AB / BC = 1 / tan A
याद रखें: त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान त्रिभुज की भुजाओं की वास्तविक लंबाई पर नहीं, बल्कि केवल कोण के माप पर निर्भर करते हैं (क्योंकि समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं)।
🧮 3. महत्वपूर्ण सूत्र और सर्वसमिकाएँ
व्युत्क्रम संबंध (Reciprocal Relations)
sin A × cosec A = 1 | cos A × sec A = 1 | tan A × cot A = 1
भागफल संबंध (Quotient Relations)
tan A = sin A / cos A | cot A = cos A / sin A
तीन मौलिक सर्वसमिकाएँ (Fundamental Identities)
1. sin² A + cos² A = 1
2. 1 + tan² A = sec² A (अर्थात sec² A − tan² A = 1)
3. 1 + cot² A = cosec² A (अर्थात cosec² A − cot² A = 1)
✍️ 4. चरणबद्ध हल किए गए उदाहरण (Step-by-Step)
उदाहरण 1: यदि tan A = 3/4 हो, तो sin A और cos A ज्ञात कीजिए।
चरण 1: tan A = लंब/आधार = 3/4। माना लंब = 3k और आधार = 4k।
चरण 2 (पाइथागोरस प्रमेय): कर्ण² = (लंब)² + (आधार)² = (3k)² + (4k)² = 9k² + 16k² = 25k²
चरण 3: कर्ण = √(25k²) = 5k
चरण 4: sin A = लंब/कर्ण = 3k/5k = 3/5
चरण 5: cos A = आधार/कर्ण = 4k/5k = 4/5
अंतिम उत्तर: sin A = 3/5 और cos A = 4/5।
उदाहरण 2: सिद्ध कीजिए कि (1 + tan² A)(1 − sin A)(1 + sin A) = 1।
चरण 1 (बायाँ पक्ष): LHS = (1 + tan² A)(1 − sin A)(1 + sin A)
चरण 2: सूत्र (a − b)(a + b) = a² − b² से: (1 − sin A)(1 + sin A) = 1 − sin² A
चरण 3: सर्वसमिका 1 − sin² A = cos² A तथा 1 + tan² A = sec² A रखने पर:
चरण 4: LHS = sec² A × cos² A = (1/cos² A) × cos² A = 1 = RHS
इति सिद्धम् (Proved)।
📊 5. विशेष कोणों के त्रिकोणमितीय मानों की सारणी
| कोण (θ) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos θ | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tan θ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | अपरिभाषित (∞) |
| cosec θ | अपरिभाषित (∞) | 2 | √2 | 2/√3 | 1 |
| sec θ | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | अपरिभाषित (∞) |
| cot θ | अपरिभाषित (∞) | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
💡 मान याद करने का गुरुमंत्र: केवल sin की पंक्ति याद रखें: 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1। cos के लिए इस क्रम को पीछे से आगे लिख दें। tan के लिए sin को cos से भाग दे दें!
🔁 6. पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (A + B = 90°)
sin(90° − A) = cos A | cos(90° − A) = sin A
tan(90° − A) = cot A | cot(90° − A) = tan A
sec(90° − A) = cosec A | cosec(90° − A) = sec A
उदाहरण: sin 18° / cos 72° का मान क्या होगा?
sin 18° = sin(90° − 72°) = cos 72°। अतः cos 72° / cos 72° = 1।
sin 18° = sin(90° − 72°) = cos 72°। अतः cos 72° / cos 72° = 1।
🧩 7. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ कैसे सिद्ध करें?
परीक्षा में सिद्ध करने वाले प्रश्नों के 3 सुनहरे नियम:
1. यदि व्यंजक tan, cot, sec, cosec में हो, तो सबको sin और cos में बदल लें।
2. भिन्न हो तो ल.स. (LCM) लेकर जोड़ें या घटाएँ।
3. यदि हर में (1 ± sin A) या (1 ± cos A) दिखे, तो संयुग्मी (Conjugate) से ऊपर-नीचे गुणा (परिमेयकरण) करें।
1. यदि व्यंजक tan, cot, sec, cosec में हो, तो सबको sin और cos में बदल लें।
2. भिन्न हो तो ल.स. (LCM) लेकर जोड़ें या घटाएँ।
3. यदि हर में (1 ± sin A) या (1 ± cos A) दिखे, तो संयुग्मी (Conjugate) से ऊपर-नीचे गुणा (परिमेयकरण) करें।
⚠️ 8. सामान्य गलतियाँ और उनसे बचाव
- गलती: sin(A + B) = sin A + sin B लिख देना। सुधार: sin कोई संख्यात्मक गुणक नहीं है, यह एक त्रिकोणमितीय फलन है। यह नियम बिल्कुल गलत है।
- गलती: sin² A को sin A² समझना। सुधार: sin² A का अर्थ (sin A)² होता है, कोण A का वर्ग नहीं।
- गलती: 1/0 को 0 लिख देना। सुधार: हर में शून्य होने पर मान अपरिभाषित (Not Defined) होता है।
🎯 परीक्षा सारांश — मास्टर नोट्स
- sin = लंब/कर्ण, cos = आधार/कर्ण, tan = लंब/आधार।
- पाइथागोरस प्रमेय: कर्ण² = लंब² + आधार²।
- sin² A + cos² A = 1 ⇒ sin² A = 1 − cos² A तथा cos² A = 1 − sin² A।
- sec² A − tan² A = 1 तथा cosec² A − cot² A = 1।
- 0° से 90° तक बढ़ने पर sin θ का मान 0 से बढ़कर 1 होता है, जबकि cos θ का मान 1 से घटकर 0 होता है।
⚡ 5 मिनट में पूरी Revision
sin² θ + cos² θ = 1 | sec² θ − tan² θ = 1 | cosec² θ − cot² θ = 1
tan θ = sin θ / cos θ | cot θ = cos θ / sin θ
अपरिहार्य मान: tan 45° = 1, sin 30° = cos 60° = 1/2, sin 60° = cos 30° = √3/2।
✍️ 9. अध्याय के महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (Step-by-Step)
I. अति लघु उत्तरीय प्रश्न — 10 प्रश्न
उत्तर: समकोण त्रिभुज की भुजाओं और उसके कोणों के बीच के संबंधों का गणितीय अध्ययन।
उत्तर: sin A = सम्मुख भुजा/कर्ण (लंब/कर्ण) तथा cos A = संलग्न भुजा/कर्ण (आधार/कर्ण)।
उत्तर: tan A = sin A / cos A (जहाँ cos A ≠ 0)।
उत्तर: दोनों का मान 1/2 होता है।
उत्तर: 1।
उत्तर: 1।
उत्तर: sec A = 1/cos A तथा cosec A = 1/sin A।
उत्तर: 9(sec² A − tan² A) = 9(1) = 9।
उत्तर: cos θ।
उत्तर: अपरिभाषित (Not Defined / ∞)।
II. लघु उत्तरीय प्रश्न — 10 प्रश्न (Step-by-Step)
समाधान:
चरण 1: लंब = 4k, आधार = 3k। कर्ण = √[(4k)² + (3k)²] = √(16k² + 9k²) = 5k।
चरण 2: sin A = लंब/कर्ण = 4/5, cos A = आधार/कर्ण = 3/5।
चरण 3: cosec A = 5/4, sec A = 5/3, cot A = 3/4।
चरण 1: लंब = 4k, आधार = 3k। कर्ण = √[(4k)² + (3k)²] = √(16k² + 9k²) = 5k।
चरण 2: sin A = लंब/कर्ण = 4/5, cos A = आधार/कर्ण = 3/5।
चरण 3: cosec A = 5/4, sec A = 5/3, cot A = 3/4।
समाधान:
चरण 1: tan 45° = 1, cos 30° = √3/2, sin 60° = √3/2 मान रखें।
चरण 2: 2(1)² + (√3/2)² − (√3/2)² = 2(1) + 3/4 − 3/4 = 2।
अंतिम उत्तर: 2।
चरण 1: tan 45° = 1, cos 30° = √3/2, sin 60° = √3/2 मान रखें।
चरण 2: 2(1)² + (√3/2)² − (√3/2)² = 2(1) + 3/4 − 3/4 = 2।
अंतिम उत्तर: 2।
समाधान:
चरण 1: cos 38° = sin(90° − 38°) = sin 52° तथा cos 52° = sin(90° − 52°) = sin 38°।
चरण 2: मान रखने पर: sin 52° sin 38° − sin 38° sin 52° = 0 = RHS। सिद्ध हुआ।
चरण 1: cos 38° = sin(90° − 38°) = sin 52° तथा cos 52° = sin(90° − 52°) = sin 38°।
चरण 2: मान रखने पर: sin 52° sin 38° − sin 38° sin 52° = 0 = RHS। सिद्ध हुआ।
समाधान:
चरण 1: tan 2A = cot(90° − 2A)।
चरण 2: cot(90° − 2A) = cot(A − 18°) ⇒ 90° − 2A = A − 18°।
चरण 3: 3A = 108° ⇒ A = 36°।
चरण 1: tan 2A = cot(90° − 2A)।
चरण 2: cot(90° − 2A) = cot(A − 18°) ⇒ 90° − 2A = A − 18°।
चरण 3: 3A = 108° ⇒ A = 36°।
समाधान:
चरण 1: sec A को 1/cos A और tan A को sin A/cos A में बदलें।
चरण 2: (1/cos A)(1 − sin A) [(1 + sin A)/cos A] = [(1 − sin² A)/cos² A]।
चरण 3: चूँकि 1 − sin² A = cos² A होता है: cos² A / cos² A = 1। सिद्ध हुआ।
चरण 1: sec A को 1/cos A और tan A को sin A/cos A में बदलें।
चरण 2: (1/cos A)(1 − sin A) [(1 + sin A)/cos A] = [(1 − sin² A)/cos² A]।
चरण 3: चूँकि 1 − sin² A = cos² A होता है: cos² A / cos² A = 1। सिद्ध हुआ।
समाधान:
चरण 1: sin(A − B) = sin 30° ⇒ A − B = 30° ...(1)
चरण 2: cos(A + B) = cos 60° ⇒ A + B = 60° ...(2)
चरण 3: जोड़ने पर 2A = 90° ⇒ A = 45° तथा B = 15°।
चरण 1: sin(A − B) = sin 30° ⇒ A − B = 30° ...(1)
चरण 2: cos(A + B) = cos 60° ⇒ A + B = 60° ...(2)
चरण 3: जोड़ने पर 2A = 90° ⇒ A = 45° तथा B = 15°।
समाधान:
चरण 1: अंश से sin θ और हर से cos θ कॉमन लें: [sin θ(1 − 2 sin² θ)] / [cos θ(2 cos² θ − 1)]
चरण 2: 1 − 2 sin² θ = 1 − 2(1 − cos² θ) = 2 cos² θ − 1 रखने पर कोष्ठक कट जाते हैं।
चरण 3: शेष बचा sin θ / cos θ = tan θ = RHS। सिद्ध हुआ।
चरण 1: अंश से sin θ और हर से cos θ कॉमन लें: [sin θ(1 − 2 sin² θ)] / [cos θ(2 cos² θ − 1)]
चरण 2: 1 − 2 sin² θ = 1 − 2(1 − cos² θ) = 2 cos² θ − 1 रखने पर कोष्ठक कट जाते हैं।
चरण 3: शेष बचा sin θ / cos θ = tan θ = RHS। सिद्ध हुआ।
समाधान:
चरण 1: cot A = 8/15 (आधार = 8, लंब = 15)। कर्ण = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17।
चरण 2: sin A = लंब/कर्ण = 15/17 तथा sec A = कर्ण/आधार = 17/8।
चरण 1: cot A = 8/15 (आधार = 8, लंब = 15)। कर्ण = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17।
चरण 2: sin A = लंब/कर्ण = 15/17 तथा sec A = कर्ण/आधार = 17/8।
समाधान:
चरण 1: करणी के अंदर (1 + sin A) से अंश और हर में गुणा करें।
चरण 2: √[(1 + sin A)² / (1 − sin² A)] = √[(1 + sin A)² / cos² A] = (1 + sin A)/cos A
चरण 3: 1/cos A + sin A/cos A = sec A + tan A = RHS। सिद्ध हुआ।
चरण 1: करणी के अंदर (1 + sin A) से अंश और हर में गुणा करें।
चरण 2: √[(1 + sin A)² / (1 − sin² A)] = √[(1 + sin A)² / cos² A] = (1 + sin A)/cos A
चरण 3: 1/cos A + sin A/cos A = sec A + tan A = RHS। सिद्ध हुआ।
समाधान:
चरण 1: मान रखें: (1/√2) / (2/√3 + 2) = (1/√2) / [(2 + 2√3)/√3]
चरण 2: = √3 / [2√2(√3 + 1)] = √3(√3 − 1) / [2√2(3 − 1)] = (3 − √3) / (4√2)
चरण 3: √2 से परिमेयकरण करने पर: (3√2 − √6)/8।
चरण 1: मान रखें: (1/√2) / (2/√3 + 2) = (1/√2) / [(2 + 2√3)/√3]
चरण 2: = √3 / [2√2(√3 + 1)] = √3(√3 − 1) / [2√2(3 − 1)] = (3 − √3) / (4√2)
चरण 3: √2 से परिमेयकरण करने पर: (3√2 − √6)/8।
III. दीर्घ उत्तरीय प्रश्न — 10 प्रश्न (Step-by-Step)
समाधान:
चरण 1: LHS = (1/sin θ − cos θ/sin θ)² = [(1 − cos θ)/sin θ]² = (1 − cos θ)² / sin² θ
चरण 2: sin² θ = 1 − cos² θ = (1 − cos θ)(1 + cos θ)
चरण 3: (1 − cos θ)² / [(1 − cos θ)(1 + cos θ)] = (1 − cos θ)/(1 + cos θ) = RHS। सिद्ध हुआ।
चरण 1: LHS = (1/sin θ − cos θ/sin θ)² = [(1 − cos θ)/sin θ]² = (1 − cos θ)² / sin² θ
चरण 2: sin² θ = 1 − cos² θ = (1 − cos θ)(1 + cos θ)
चरण 3: (1 − cos θ)² / [(1 − cos θ)(1 + cos θ)] = (1 − cos θ)/(1 + cos θ) = RHS। सिद्ध हुआ।
समाधान:
चरण 1: ल.स. लें: [cos² A + (1 + sin A)²] / [cos A(1 + sin A)]
चरण 2: अंश खोलें: [cos² A + 1 + 2 sin A + sin² A] / [cos A(1 + sin A)]
चरण 3: cos² A + sin² A = 1 रखें: [1 + 1 + 2 sin A] = [2 + 2 sin A] = 2(1 + sin A)
चरण 4: [2(1 + sin A)] / [cos A(1 + sin A)] = 2/cos A = 2 sec A = RHS। सिद्ध हुआ।
चरण 1: ल.स. लें: [cos² A + (1 + sin A)²] / [cos A(1 + sin A)]
चरण 2: अंश खोलें: [cos² A + 1 + 2 sin A + sin² A] / [cos A(1 + sin A)]
चरण 3: cos² A + sin² A = 1 रखें: [1 + 1 + 2 sin A] = [2 + 2 sin A] = 2(1 + sin A)
चरण 4: [2(1 + sin A)] / [cos A(1 + sin A)] = 2/cos A = 2 sec A = RHS। सिद्ध हुआ।
समाधान:
चरण 1: tan और cot को sin/cos में बदलें: (sin/cos)/(1 − cos/sin) + (cos/sin)/(1 − sin/cos)
चरण 2: = sin² θ / [cos θ(sin θ − cos θ)] − cos² θ / [sin θ(sin θ − cos θ)]
चरण 3: ल.स. लें: (sin³ θ − cos³ θ) / [sin θ cos θ(sin θ − cos θ)]
चरण 4: सूत्र a³ − b³ से: [(sin θ − cos θ)(sin² θ + cos² θ + sin θ cos θ)] / [sin θ cos θ(sin θ − cos θ)]
चरण 5: = (1 + sin θ cos θ) / (sin θ cos θ) = 1/(sin θ cos θ) + 1 = 1 + sec θ cosec θ = RHS। सिद्ध हुआ।
चरण 1: tan और cot को sin/cos में बदलें: (sin/cos)/(1 − cos/sin) + (cos/sin)/(1 − sin/cos)
चरण 2: = sin² θ / [cos θ(sin θ − cos θ)] − cos² θ / [sin θ(sin θ − cos θ)]
चरण 3: ल.स. लें: (sin³ θ − cos³ θ) / [sin θ cos θ(sin θ − cos θ)]
चरण 4: सूत्र a³ − b³ से: [(sin θ − cos θ)(sin² θ + cos² θ + sin θ cos θ)] / [sin θ cos θ(sin θ − cos θ)]
चरण 5: = (1 + sin θ cos θ) / (sin θ cos θ) = 1/(sin θ cos θ) + 1 = 1 + sec θ cosec θ = RHS। सिद्ध हुआ।
समाधान:
चरण 1 (LHS): (1 + 1/cos A)/(1/cos A) = [(cos A + 1)/cos A] / (1/cos A) = 1 + cos A
चरण 2 (RHS): sin² A / (1 − cos A) = (1 − cos² A) / (1 − cos A) = [(1 − cos A)(1 + cos A)] / (1 − cos A) = 1 + cos A
निष्कर्ष: LHS = RHS = 1 + cos A। सिद्ध हुआ।
चरण 1 (LHS): (1 + 1/cos A)/(1/cos A) = [(cos A + 1)/cos A] / (1/cos A) = 1 + cos A
चरण 2 (RHS): sin² A / (1 − cos A) = (1 − cos² A) / (1 − cos A) = [(1 − cos A)(1 + cos A)] / (1 − cos A) = 1 + cos A
निष्कर्ष: LHS = RHS = 1 + cos A। सिद्ध हुआ।
समाधान:
चरण 1: अंश और हर को sin A से भाग दें: (cot A − 1 + cosec A) / (cot A + 1 − cosec A)
चरण 2: अंश में 1 के स्थान पर (cosec² A − cot² A) रखें: [(cosec A + cot A) − (cosec² A − cot² A)] / (cot A + 1 − cosec A)
चरण 3: कॉमन लें: [(cosec A + cot A)(1 − cosec A + cot A)] / (1 − cosec A + cot A)
चरण 4: कोष्ठक कटने पर प्राप्त हुआ = cosec A + cot A = RHS। सिद्ध हुआ।
चरण 1: अंश और हर को sin A से भाग दें: (cot A − 1 + cosec A) / (cot A + 1 − cosec A)
चरण 2: अंश में 1 के स्थान पर (cosec² A − cot² A) रखें: [(cosec A + cot A) − (cosec² A − cot² A)] / (cot A + 1 − cosec A)
चरण 3: कॉमन लें: [(cosec A + cot A)(1 − cosec A + cot A)] / (1 − cosec A + cot A)
चरण 4: कोष्ठक कटने पर प्राप्त हुआ = cosec A + cot A = RHS। सिद्ध हुआ।
समाधान:
चरण 1: वर्ग खोलें: (sin² A + cosec² A + 2 sin A cosec A) + (cos² A + sec² A + 2 cos A sec A)
चरण 2: sin² A + cos² A = 1 तथा sin A cosec A = 1, cos A sec A = 1 रखें: 1 + 2(1) + 2(1) + cosec² A + sec² A = 5 + cosec² A + sec² A
चरण 3: cosec² A = 1 + cot² A और sec² A = 1 + tan² A रखें: 5 + (1 + cot² A) + (1 + tan² A) = 7 + tan² A + cot² A = RHS। सिद्ध हुआ।
चरण 1: वर्ग खोलें: (sin² A + cosec² A + 2 sin A cosec A) + (cos² A + sec² A + 2 cos A sec A)
चरण 2: sin² A + cos² A = 1 तथा sin A cosec A = 1, cos A sec A = 1 रखें: 1 + 2(1) + 2(1) + cosec² A + sec² A = 5 + cosec² A + sec² A
चरण 3: cosec² A = 1 + cot² A और sec² A = 1 + tan² A रखें: 5 + (1 + cot² A) + (1 + tan² A) = 7 + tan² A + cot² A = RHS। सिद्ध हुआ।
समाधान:
चरण 1 (LHS): (1/sin A − sin A)(1/cos A − cos A) = [(1 − sin² A)/sin A] × [(1 − cos² A)/cos A] = (cos² A / sin A) × (sin² A / cos A) = sin A cos A
चरण 2 (RHS): 1 / (sin A/cos A + cos A/sin A) = 1 / [(sin² A + cos² A)/(sin A cos A)] = 1 / [1 / (sin A cos A)] = sin A cos A
निष्कर्ष: LHS = RHS = sin A cos A। सिद्ध हुआ।
चरण 1 (LHS): (1/sin A − sin A)(1/cos A − cos A) = [(1 − sin² A)/sin A] × [(1 − cos² A)/cos A] = (cos² A / sin A) × (sin² A / cos A) = sin A cos A
चरण 2 (RHS): 1 / (sin A/cos A + cos A/sin A) = 1 / [(sin² A + cos² A)/(sin A cos A)] = 1 / [1 / (sin A cos A)] = sin A cos A
निष्कर्ष: LHS = RHS = sin A cos A। सिद्ध हुआ।
समाधान:
चरण 1: (1 + tan² A)/(1 + cot² A) = sec² A / cosec² A = (1/cos² A) / (1/sin² A) = sin² A / cos² A = tan² A
चरण 2: [(1 − tan A)/(1 − 1/tan A)]² = [(1 − tan A)/((tan A − 1)/tan A)]² = [−tan A]² = tan² A
निष्कर्ष: तीनों पद tan² A के बराबर हैं। सिद्ध हुआ।
चरण 1: (1 + tan² A)/(1 + cot² A) = sec² A / cosec² A = (1/cos² A) / (1/sin² A) = sin² A / cos² A = tan² A
चरण 2: [(1 − tan A)/(1 − 1/tan A)]² = [(1 − tan A)/((tan A − 1)/tan A)]² = [−tan A]² = tan² A
निष्कर्ष: तीनों पद tan² A के बराबर हैं। सिद्ध हुआ।
समाधान:
चरण 1: tan B = (1/n) tan A ⇒ cot B = n cot A
चरण 2: sin B = (1/m) sin A ⇒ cosec B = m cosec A
चरण 3: सर्वसमिका cosec² B − cot² B = 1 में मान रखें: m² cosec² A − n² cot² A = 1
चरण 4: sin² A से गुणा करें: m² − n² cos² A = sin² A = 1 − cos² A
चरण 5: m² − 1 = n² cos² A − cos² A = cos² A(n² − 1) ⇒ cos² A = (m² − 1)/(n² − 1)। सिद्ध हुआ।
चरण 1: tan B = (1/n) tan A ⇒ cot B = n cot A
चरण 2: sin B = (1/m) sin A ⇒ cosec B = m cosec A
चरण 3: सर्वसमिका cosec² B − cot² B = 1 में मान रखें: m² cosec² A − n² cot² A = 1
चरण 4: sin² A से गुणा करें: m² − n² cos² A = sin² A = 1 − cos² A
चरण 5: m² − 1 = n² cos² A − cos² A = cos² A(n² − 1) ⇒ cos² A = (m² − 1)/(n² − 1)। सिद्ध हुआ।
समाधान:
चरण 1: sec² θ − tan² θ = 1 ⇒ (sec θ + tan θ)(sec θ − tan θ) = 1 ⇒ sec θ − tan θ = 1/p ...(1)
चरण 2: sec θ + tan θ = p ...(2)। दोनों को जोड़ने पर: 2 sec θ = p + 1/p = (p² + 1)/p ⇒ sec θ = (p² + 1)/(2p)
चरण 3: घटाने पर: 2 tan θ = p − 1/p = (p² − 1)/p ⇒ tan θ = (p² − 1)/(2p)
चरण 4: sin θ = tan θ / sec θ = [(p² − 1)/(2p)] / [(p² + 1)/(2p)] = (p² − 1)/(p² + 1)। सिद्ध हुआ।
चरण 1: sec² θ − tan² θ = 1 ⇒ (sec θ + tan θ)(sec θ − tan θ) = 1 ⇒ sec θ − tan θ = 1/p ...(1)
चरण 2: sec θ + tan θ = p ...(2)। दोनों को जोड़ने पर: 2 sec θ = p + 1/p = (p² + 1)/p ⇒ sec θ = (p² + 1)/(2p)
चरण 3: घटाने पर: 2 tan θ = p − 1/p = (p² − 1)/p ⇒ tan θ = (p² − 1)/(2p)
चरण 4: sin θ = tan θ / sec θ = [(p² − 1)/(2p)] / [(p² + 1)/(2p)] = (p² − 1)/(p² + 1)। सिद्ध हुआ।
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