कक्षा 10 गणित अध्याय 9: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग | नोट्स, प्रश्न-उत्तर व MCQ टेस्ट | Bihar Board

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अध्याय 9 : त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry)

उन्नयन कोण, अवनमन कोण, दृष्टि रेखा तथा त्रिकोणमिति से ऊँचाई और दूरी ज्ञात करना — सरल हिंदी में चरणबद्ध अध्ययन।

📖 अध्यायवार नोट्स✍️ हल सहित प्रश्न📝 50 MCQ Test

📖 परिचय 📐 मुख्य अवधारणाएँ 🧮 जरूरी सूत्र ✍️ हल उदाहरण 📊 विशेष कोण 🎯 परीक्षा सारांश ⚡ Revision 📝 प्रश्नोत्तर 📋 50 MCQ Test

📘 1. अध्याय परिचय — ऊँचाई-दूरी में त्रिकोणमिति क्यों?

मैं जब भी यह अध्याय शुरू करता हूँ, छात्रों से एक सवाल पूछता हूँ — "आप किसी ऊँची इमारत की ऊँचाई कैसे नापेंगे, बिना उस पर चढ़े?" जवाब है — छाया या कोण नापकर। यही त्रिकोणमिति का जादू है।

कई बार किसी इमारत, मीनार, पेड़ या नदी की चौड़ाई को सीधे मापना कठिन होता है। ऐसी स्थितियों में समकोण त्रिभुज और त्रिकोणमितीय अनुपातों की मदद से ऊँचाई या दूरी ज्ञात की जाती है। यही इस अध्याय का मुख्य विचार है।

💭 सोचिए और बताइए — ऐसा क्यों होता है?

दूर खड़े होकर किसी मीनार की ऊँचाई सीधे नापना कठिन है, फिर भी हम कोण और क्षैतिज दूरी की मदद से उसकी ऊँचाई निकाल सकते हैं। ऐसा इसलिए संभव है क्योंकि समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच निश्चित संबंध होता है।

📚 आइए, क्रम से समझें

पहले दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा पहचानेंगे, फिर उन्नयन तथा अवनमन कोण समझेंगे। इसके बाद सही त्रिकोणमितीय अनुपात चुनकर चित्र, समीकरण और गणना की मदद से उत्तर निकालेंगे।

इस अध्याय में हम क्या सीखेंगे?

• दृष्टि-रेखा का अर्थ और उसका उपयोग।
• उन्नयन कोण तथा अवनमन कोण में अंतर।
• चित्र बनाकर समकोण त्रिभुज पहचानना।
• tan, sin और cos का उपयोग करके ऊँचाई-दूरी निकालना।
• उत्तर के साथ सही इकाई लिखना और उत्तर की जाँच करना।

चित्र: क्षैतिज रेखा के ऊपर वस्तु देखने पर उन्नयन कोण बनता है

ध्यान रखें: प्रश्न में दी गई दूरी और कोण को चित्र पर अंकित करें। प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई दी हो, तो अंतिम ऊँचाई निकालते समय उसे जोड़ना या घटाना न भूलें।

👨‍🏫 शिक्षक की सलाह

किसी भी सवाल में सीधे सूत्र लगाने की जल्दी न करें। पहले साफ चित्र बनाइए, कोण को सही स्थान पर लिखिए और फिर देखिए कि प्रश्न में लंब, आधार या कर्ण में से क्या दिया है।

💡 मेरी सलाह: जब मैंने पहली बार यह अध्याय पढ़ाया था, तब मुझे एहसास हुआ कि छात्र उन्नयन और अवनमन में सबसे ज्यादा उलझते हैं। एक बात याद रखें: ऊपर देखा → उन्नयन, नीचे देखा → अवनमन। दोनों कोण हमेशा क्षैतिज रेखा से मापे जाते हैं।

📐 2. मुख्य अवधारणाएँ — दृष्टि-रेखा, उन्नयन और अवनमन कोण

दृष्टि-रेखा (Line of Sight)

प्रेक्षक की आँख और देखी जा रही वस्तु के बिंदु को मिलाने वाली काल्पनिक सीधी रेखा दृष्टि-रेखा कहलाती है।

उन्नयन कोण (Angle of Elevation)

जब वस्तु प्रेक्षक के क्षैतिज स्तर से ऊपर होती है, तब क्षैतिज रेखा और ऊपर जाती दृष्टि-रेखा के बीच का कोण उन्नयन कोण कहलाता है।

अवनमन कोण (Angle of Depression)

जब वस्तु प्रेक्षक के क्षैतिज स्तर से नीचे होती है, तब क्षैतिज रेखा और नीचे जाती दृष्टि-रेखा के बीच का कोण अवनमन कोण कहलाता है।

चित्र: ऊँचाई से नीचे देखने पर अवनमन कोण बनता है

ऊँचाई = लंब भुजा  |  क्षैतिज दूरी = आधार  |  दृष्टि-रेखा = कर्ण

यदि दो क्षैतिज रेखाएँ समानांतर हों, तो उनके बीच की दृष्टि-रेखा से बने एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं। इसलिए अवनमन कोण और दूसरे स्थान से बना उन्नयन कोण बराबर हो सकते हैं।

⚠️ सबसे आम गलती: छात्र उन्नयन/अवनमन कोण को जमीन या ऊर्ध्वाधर रेखा से माप लेते हैं। याद रखें: दोनों कोण हमेशा क्षैतिज रेखा से मापे जाते हैं।

🧮 3. जरूरी सूत्र और नियम

tan θ = लंब / आधार  |  sin θ = लंब / कर्ण  |  cos θ = आधार / कर्ण

इस अध्याय में सबसे उपयोगी संबंध

• ऊँचाई और क्षैतिज दूरी ज्ञात हों, तो tan θ का उपयोग करें।
• दृष्टि-रेखा या तिरछी दूरी (सीढ़ी/पतंग की डोरी) कर्ण हो, तो sin θ या cos θ चुनें।
• tan 30° = 1/√3; tan 45° = 1; tan 60° = √3।
• sin 30° = 1/2; sin 45° = 1/√2; sin 60° = √3/2।
• cos 30° = √3/2; cos 45° = 1/√2; cos 60° = 1/2।

हल करने की विधि: (1) चित्र बनाइए, (2) समकोण त्रिभुज और कोण पहचानिए, (3) ज्ञात और अज्ञात भुजाएँ लिखिए, (4) उपयुक्त अनुपात लगाइए, (5) समीकरण हल कर इकाई सहित उत्तर लिखिए।

✍️ 4. चरणबद्ध हल किए गए उदाहरण (Step-by-Step)

उदाहरण 1: मीनार से 15 m दूर बिंदु से शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।

चरण 1: मान लें मीनार की ऊँचाई h m है। यहाँ आधार = 15 m और कोण = 60° है।

चरण 2: tan 60° = लंब / आधार = h / 15

चरण 3: √3 = h / 15 ⇒ h = 15√3 m

उत्तर: मीनार की ऊँचाई 15√3 m (लगभग 25.98 m) है।

उदाहरण 2: 5 m ऊँचे खंभे पर मरम्मत के लिए सीढ़ी का ऊपरी सिरा खंभे के शिखर से 1.3 m नीचे पहुँचना है। सीढ़ी भूमि से 60° का कोण बनाती है। सीढ़ी की लंबाई ज्ञात करें।

चरण 1: सीढ़ी जिस बिंदु तक पहुँचेगी, उसकी ऊँचाई = 5 − 1.3 = 3.7 m।

चरण 2: यदि सीढ़ी की लंबाई L (कर्ण) है, तो sin 60° = लंब / कर्ण = 3.7 / L।

चरण 3: √3 / 2 = 3.7 / L ⇒ L = (3.7 × 2) / √3 = 7.4 / √3 ≈ 4.27 m।

उत्तर: सीढ़ी की लंबाई लगभग 4.27 m है।

उदाहरण 3: 1.5 m ऊँचे प्रेक्षक से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45° और क्षैतिज दूरी 28.5 m है। चिमनी की कुल ऊँचाई ज्ञात करें।

चरण 1: आँख के स्तर से चिमनी के शिखर तक ऊँचाई का अंतर = h।

चरण 2: tan 45° = h / 28.5 ⇒ 1 = h / 28.5 ⇒ h = 28.5 m।

चरण 3: चिमनी की कुल ऊँचाई = h + प्रेक्षक की ऊँचाई = 28.5 + 1.5 = 30 m।

उत्तर: चिमनी की कुल ऊँचाई 30 m है।

उदाहरण 4: मीनार की छाया, सूर्य का उन्नयन कोण 60° से 30° होने पर 40 m बढ़ जाती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।

चरण 1: माना मीनार की ऊँचाई h m और पहली छाया की लंबाई x m है।

चरण 2: Δ1 में: tan 60° = h / x ⇒ √3 = h / x ⇒ x = h / √3।

चरण 3: Δ2 में: tan 30° = h / (x + 40) ⇒ 1 / √3 = h / (x + 40) ⇒ x + 40 = h√3।

चरण 4: x का मान रखने पर: h / √3 + 40 = h√3 ⇒ 40 = h√3 − h / √3 = 2h / √3 ⇒ h = 20√3 m।

उत्तर: मीनार की ऊँचाई 20√3 m है।

📊 5. विशेष कोणों के उपयोगी मान

अनुपात	30°	45°	60°
sin θ	1/2	1/√2	√3/2
cos θ	√3/2	1/√2	1/2
tan θ	1/√3	1	√3

ऊँचाई और क्षैतिज दूरी वाले अधिकतर सवालों में tan का उपयोग सबसे सरल रहता है। सीढ़ी, रस्सी या पतंग की डोरी पूछी जाए, तो sin या cos का चयन करें।

🎯 परीक्षा सारांश — याद रखने योग्य महत्वपूर्ण बातें

• दृष्टि-रेखा प्रेक्षक की आँख और देखी जाने वाली वस्तु को जोड़ती है।
• क्षैतिज रेखा से ऊपर दृष्टि-रेखा का कोण उन्नयन कोण कहलाता है।
• क्षैतिज रेखा से नीचे दृष्टि-रेखा का कोण अवनमन कोण कहलाता है।
• tan θ = ऊँचाई का अंतर / क्षैतिज दूरी।
• sin θ = लंब / कर्ण और cos θ = आधार / कर्ण।
• tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3।
• चित्र बनाकर ज्ञात-अज्ञात राशियाँ अंकित करना समाधान का सबसे महत्वपूर्ण चरण है।
• प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई दी हो, तो अंतिम ऊँचाई में उसका ध्यान अवश्य रखें।

⚡ 5 मिनट में पूरी Revision

tan θ = ऊँचाई / क्षैतिज दूरी  |  sin θ = ऊँचाई / दृष्टि-रेखा  |  cos θ = क्षैतिज दूरी / दृष्टि-रेखा

उन्नयन: वस्तु ऊपर देखना। अवनमन: वस्तु नीचे देखना।

याद रखें: tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3।

✍️ 9. अध्याय के महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

I. अति लघु उत्तरीय प्रश्न — 10 प्रश्न

II. लघु उत्तरीय प्रश्न — 10 प्रश्न (Step-by-Step)

III. दीर्घ उत्तरीय प्रश्न — 10 प्रश्न (Step-by-Step)

📋 10. 50 MCQ Test — अपना अभ्यास जाँचें

हर प्रश्न में सही विकल्प चुनें। उत्तर चुनते ही परिणाम और व्याख्या दिखेगी। टेस्ट पूर्ण होने पर सबमिट करें।

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प्रश्न 1. उन्नयन कोण किस स्थिति में बनता है?

(a) वस्तु क्षैतिज स्तर से ऊपर हो(b) वस्तु क्षैतिज स्तर से नीचे हो(c) वस्तु प्रेक्षक के ठीक पीछे हो(d) वस्तु जमीन के अंदर हो

व्याख्या: ऊपर स्थित वस्तु को देखने पर क्षैतिज रेखा और दृष्टि-रेखा के बीच उन्नयन कोण बनता है।

प्रश्न 2. अवनमन कोण किससे मापा जाता है?

(a) ऊर्ध्वाधर रेखा से(b) क्षैतिज रेखा से नीचे की ओर(c) भूमि के अंदर से(d) कर्ण से हमेशा 90° पर

व्याख्या: अवनमन कोण प्रेक्षक की क्षैतिज रेखा और नीचे जाती दृष्टि-रेखा के बीच बनता है।

प्रश्न 3. दृष्टि-रेखा क्या जोड़ती है?

(a) दो आधार बिंदु(b) प्रेक्षक की आँख और देखी जा रही वस्तु का बिंदु(c) केवल दो क्षैतिज रेखाएँ(d) मीनार का आधार और जमीन का केंद्र

व्याख्या: दृष्टि-रेखा प्रेक्षक की आँख से वस्तु के देखे जा रहे बिंदु को जोड़ने वाली रेखा है।

प्रश्न 4. ऊँचाई h और क्षैतिज दूरी d हो, तो tan θ बराबर है—

(a) d/h(b) h/d(c) h×d(d) h+d

व्याख्या: समकोण त्रिभुज में tan θ = लंब/आधार = h/d।

प्रश्न 5. tan 45° का मान है—

(a) 0(b) 1/√3(c) 1(d) √3

व्याख्या: tan 45° = 1 होता है।

प्रश्न 6. tan 30° का मान है—

(a) √3(b) 1(c) 1/√3(d) 2

व्याख्या: tan 30° = 1/√3।

प्रश्न 7. tan 60° का मान है—

(a) 1/√3(b) 1(c) √3(d) 0

व्याख्या: tan 60° = √3।

प्रश्न 8. sin 30° का मान है—

(a) 1/2(b) √3/2(c) 1(d) 0

व्याख्या: sin 30° = 1/2।

प्रश्न 9. cos 60° का मान है—

(a) √3/2(b) 1/2(c) 1(d) 0

व्याख्या: cos 60° = 1/2।

प्रश्न 10. किस स्थिति में sin θ का उपयोग सबसे अधिक उपयोगी है?

(a) लंब और कर्ण ज्ञात या संबंधित हों(b) केवल लंब और आधार हों(c) केवल दो कोण हों(d) कोई त्रिभुज न हो

व्याख्या: sin θ = लंब/कर्ण। सीढ़ी, रस्सी या पतंग की डोरी कर्ण बनने पर यह उपयोगी होता है।

प्रश्न 11. यदि दूरी 10 m और उन्नयन कोण 45° है, तो ऊँचाई का अंतर है—

(a) 5 m(b) 10 m(c) 10√3 m(d) 20 m

व्याख्या: h = d tan 45° = 10 × 1 = 10 m।

प्रश्न 12. यदि मीनार से दूरी 15 m और कोण 60° हो, तो ऊँचाई है—

(a) 15/√3 m(b) 15 m(c) 15√3 m(d) 30 m

व्याख्या: h = 15 tan 60° = 15√3 m।

प्रश्न 13. यदि ऊँचाई 12 m और कोण 30° हो, तो क्षैतिज दूरी है—

(a) 4√3 m(b) 12√3 m(c) 6 m(d) 12 m

व्याख्या: d = h / tan 30° = 12 / (1/√3) = 12√3 m।

प्रश्न 14. सीढ़ी की लंबाई समकोण त्रिभुज में सामान्यतः क्या होती है?

(a) आधार(b) लंब(c) कर्ण(d) कोण

व्याख्या: दीवार के सहारे टिकी सीढ़ी हमेशा तिरछी होती है, जो समकोण त्रिभुज का कर्ण बनती है।

प्रश्न 15. यदि सीढ़ी 5 m लंबी है और जमीन से 30° का कोण बनाती है, तो ऊँचाई है—

(a) 2.5 m(b) 5√3/2 m(c) 5 m(d) 10 m

व्याख्या: h = 5 sin 30° = 5 × (1/2) = 2.5 m।

प्रश्न 16. यदि दृष्टि-रेखा 10 m और कोण 60° है, तो ऊँचाई का अंतर है—

(a) 5 m(b) 5√3 m(c) 10√3 m(d) 20 m

व्याख्या: h = 10 sin 60° = 10 × (√3/2) = 5√3 m।

प्रश्न 17. यदि दृष्टि-रेखा 10 m और कोण 60° है, तो क्षैतिज दूरी है—

(a) 5 m(b) 5√3 m(c) 10 m(d) 10√3 m

व्याख्या: d = 10 cos 60° = 10 × (1/2) = 5 m।

प्रश्न 18. मीनार की ऊँचाई का कोण आँख के स्तर से मापा गया है। जमीन से कुल ऊँचाई के लिए—

(a) आँख की ऊँचाई घटाएँ(b) आँख की ऊँचाई जोड़ें(c) कुछ न करें(d) दूरी जोड़ें

व्याख्या: tan सूत्र आँख के स्तर से ऊपर की ऊँचाई देता है, इसलिए जमीन से कुल ऊँचाई पाने के लिए प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई जोड़ते हैं।

प्रश्न 19. अवनमन कोण 35° हो, तो उसी दृष्टि-रेखा के आधार पर दूसरे स्थान पर संबंधित उन्नयन कोण—

(a) 55°(b) 35°(c) 90°(d) 145°

व्याख्या: समानांतर क्षैतिज रेखाओं के बीच एकांतर कोण बराबर होते हैं, अतः उन्नयन कोण = अवनमन कोण = 35°।

प्रश्न 20. किसी प्रश्न में जमीन और मीनार लंबवत हों, तो उनके बीच कोण है—

(a) 30°(b) 45°(c) 60°(d) 90°

व्याख्या: लंबवत मीनार और क्षैतिज जमीन के बीच सदैव 90° (समकोण) बनता है।

प्रश्न 21. छाया की लंबाई x और सूर्य का उन्नयन कोण θ हो, तो ऊँचाई h बराबर है—

(a) h = x cos θ(b) h = x tan θ(c) h = x / sin θ(d) h = x + tan θ

व्याख्या: tan θ = h/x ⇒ h = x tan θ।

प्रश्न 22. सूर्य का उन्नयन कोण 45° और छाया 8 m है। वस्तु की ऊँचाई होगी—

(a) 4 m(b) 8 m(c) 8√3 m(d) 16 m

व्याख्या: h = 8 tan 45° = 8 × 1 = 8 m।

प्रश्न 23. सूर्य का उन्नयन कोण 30° और छाया 6√3 m है। ऊँचाई होगी—

(a) 6 m(b) 3√3 m(c) 18 m(d) 12 m

व्याख्या: h = 6√3 × tan 30° = 6√3 × (1/√3) = 6 m।

प्रश्न 24. यदि कोण 60° और ऊँचाई 9√3 m हो, तो क्षैतिज दूरी है—

(a) 9 m(b) 18 m(c) 27 m(d) 3 m

व्याख्या: d = h / tan 60° = 9√3 / √3 = 9 m।

प्रश्न 25. यदि भवन से दूरी 20 m और ऊँचाई 20 m हो, तो उन्नयन कोण होगा—

(a) 30°(b) 45°(c) 60°(d) 90°

व्याख्या: tan θ = 20/20 = 1 ⇒ θ = 45°।

प्रश्न 26. यदि ऊँचाई 10 m और दूरी 10√3 m है, तो उन्नयन कोण है—

(a) 30°(b) 45°(c) 60°(d) 90°

व्याख्या: tan θ = 10 / (10√3) = 1/√3 ⇒ θ = 30°।

प्रश्न 27. दो स्थानों से ऊँचाई-दूरी का प्रश्न हल करने के लिए सबसे पहला चरण क्या है?

(a) सीधा सूत्र लिखना(b) साफ और सटीक चित्र बनाना(c) सभी मानों को जोड़ना(d) इकाई हटा देना

व्याख्या: सही चित्र बनाने से दोनों समकोण त्रिभुजों के आधार और लंब स्पष्ट हो जाते हैं।

प्रश्न 28. ऊँचाई-दूरी के प्रश्न में समकोण त्रिभुज का कर्ण सामान्यतः क्या हो सकता है?

(a) मीनार की ऊँचाई(b) भूमि पर दूरी(c) दृष्टि-रेखा(d) क्षैतिज रेखा

व्याख्या: प्रेक्षक की आँख से वस्तु तक जाने वाली तिरछी दृष्टि-रेखा ही कर्ण बनती है।

प्रश्न 29. tan θ किस भुजा का अनुपात होता है?

(a) लंब/कर्ण(b) आधार/कर्ण(c) लंब/आधार(d) कर्ण/आधार

व्याख्या: tan θ = लंब / आधार।

प्रश्न 30. cos θ का सूत्र है—

(a) लंब/कर्ण(b) आधार/कर्ण(c) लंब/आधार(d) कर्ण/लंब

व्याख्या: cos θ = आधार / कर्ण।

प्रश्न 31. sin θ का सूत्र है—

(a) लंब/कर्ण(b) आधार/कर्ण(c) आधार/लंब(d) कर्ण/आधार

व्याख्या: sin θ = लंब / कर्ण।

प्रश्न 32. किसी वस्तु को क्षैतिज स्तर से नीचे देखने पर कोण किस ओर बनता है?

(a) ऊपर की ओर(b) नीचे की ओर(c) सिर्फ जमीन के समानांतर(d) ऊर्ध्वाधर रेखा पर

व्याख्या: क्षैतिज स्तर से नीचे देखने पर अवनमन कोण नीचे की ओर बनता है।

प्रश्न 33. यदि h = 18 m और d = 18√3 m, तो उन्नयन कोण θ है—

(a) 30°(b) 45°(c) 60°(d) 90°

व्याख्या: tan θ = 18 / (18√3) = 1/√3 ⇒ θ = 30°।

प्रश्न 34. यदि h = 7 m और θ = 45°, तो क्षैतिज दूरी है—

(a) 7/√3 m(b) 7 m(c) 7√3 m(d) 14 m

व्याख्या: d = h / tan 45° = 7 / 1 = 7 m।

प्रश्न 35. यदि क्षैतिज दूरी 5√3 m और θ = 30°, तो ऊँचाई है—

(a) 5 m(b) 5√3 m(c) 15 m(d) 10 m

व्याख्या: h = 5√3 × tan 30° = 5√3 × (1/√3) = 5 m।

प्रश्न 36. यदि प्रेक्षक की आँख जमीन से 1.5 m ऊपर है और आँख से शिखर तक अंतर 20 m है, तो कुल ऊँचाई होगी—

(a) 18.5 m(b) 20 m(c) 21.5 m(d) 30 m

व्याख्या: कुल ऊँचाई = 20 + 1.5 = 21.5 m।

प्रश्न 37. एक खंभे की ऊँचाई 5 m है और सीढ़ी का ऊपरी सिरा शिखर से 1.3 m नीचे है। सीढ़ी द्वारा पहुँची गई ऊँचाई है—

(a) 3.7 m(b) 6.3 m(c) 5 m(d) 1.3 m

व्याख्या: पहुँची ऊँचाई = 5 − 1.3 = 3.7 m।

प्रश्न 38. यदि θ = 60° और कर्ण 8 m है, तो लंब भुजा की लंबाई होगी—

(a) 4 m(b) 4√3 m(c) 8√3 m(d) 16 m

व्याख्या: लंब = 8 sin 60° = 8 × (√3/2) = 4√3 m।

प्रश्न 39. यदि θ = 60° और कर्ण 8 m है, तो आधार की लंबाई होगी—

(a) 4 m(b) 4√3 m(c) 8√3 m(d) 2 m

व्याख्या: आधार = 8 cos 60° = 8 × (1/2) = 4 m।

प्रश्न 40. tan θ = h/d में d क्या दर्शाता है?

(a) दृष्टि-रेखा(b) ऊँचाई(c) क्षैतिज दूरी(d) प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई

व्याख्या: d जमीन पर प्रेक्षक और मीनार के पाद के बीच की क्षैतिज दूरी है।

प्रश्न 41. यदि θ = 30° और कर्ण 14 m है, तो लंब भुजा होगी—

(a) 7 m(b) 7√3 m(c) 14 m(d) 28 m

व्याख्या: लंब = 14 sin 30° = 14 × (1/2) = 7 m।

प्रश्न 42. यदि θ = 30° और कर्ण 14 m है, तो आधार होगा—

(a) 7 m(b) 7√3 m(c) 14 m(d) 28 m

व्याख्या: आधार = 14 cos 30° = 14 × (√3/2) = 7√3 m।

प्रश्न 43. यदि ऊँचाई 4 m और दूरी 4 m हो, तो tan θ का मान है—

(a) 1/√3(b) 1(c) √3(d) 4

व्याख्या: tan θ = 4 / 4 = 1।

प्रश्न 44. यदि ऊँचाई 6 m और दूरी 6/√3 m हो, तो tan θ का मान है—

(a) 1/√3(b) 1(c) √3(d) 6

व्याख्या: tan θ = 6 / (6/√3) = √3।

प्रश्न 45. मीनार के आधार से दूर जाने पर समान ऊँचाई के लिए उन्नयन कोण सामान्यतः—

(a) बढ़ता है(b) घटता है(c) नहीं बदलता(d) 90° हो जाता है

व्याख्या: दूरी (आधार) बढ़ने से tan θ = h/d का मान घटता है, इसलिए उन्नयन कोण भी घटता है।

प्रश्न 46. किसी निश्चित ऊँचाई के लिए प्रेक्षक यदि वस्तु के पास जाए, तो उन्नयन कोण—

(a) घटता है(b) बढ़ता है(c) शून्य हो जाता है(d) अपरिवर्तित रहता है

व्याख्या: वस्तु के निकट आने पर क्षैतिज दूरी घटती है, जिससे उन्नयन कोण बढ़ता है।

प्रश्न 47. यदि किसी भवन का शिखर आँख के स्तर से नीचे दिखता है, तो बनने वाला कोण है—

(a) उन्नयन(b) अवनमन(c) समकोण(d) संपूरक कोण

व्याख्या: आँख के क्षैतिज स्तर से नीचे देखने पर अवनमन कोण बनता है।

प्रश्न 48. यदि दूरी 30 m और कोण 30° है, तो ऊँचाई का अंतर है—

(a) 10√3 m(b) 30√3 m(c) 15 m(d) 30 m

व्याख्या: h = 30 tan 30° = 30 / √3 = 10√3 m।

प्रश्न 49. यदि ऊँचाई 20 m और कोण 60° है, तो क्षैतिज दूरी होगी—

(a) 20√3 m(b) 20/√3 m(c) 40 m(d) 10 m

व्याख्या: d = h / tan 60° = 20 / √3 m।

प्रश्न 50. यदि कोण 60° और क्षैतिज दूरी 4 m है, तो ऊँचाई का अंतर है—

(a) 4/√3 m(b) 4 m(c) 4√3 m(d) 8 m

व्याख्या: h = 4 tan 60° = 4√3 m।

🎉 टेस्ट परिणाम

कुल प्रश्न50

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सही उत्तर0

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छोड़े गए: 50
प्राप्त अंक: 0 / 50
प्रतिशत: 0.00%
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