कक्षा 10 गणित अध्याय 7: निर्देशांक ज्यामिति | नोट्स, प्रश्न-उत्तर व MCQ टेस्ट | Bihar Board

📘 Class 10 Maths | Chapter 7

अध्याय 7 : निर्देशांक ज्यामिति

Coordinate Geometry — Notes, Step-by-Step Solutions, प्रश्नोत्तर & 50 MCQ Test

📚 बिहार बोर्ड🧮 गणित📝 50 MCQ🎯 Exam Focus

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📖 परिचय 📐 चतुर्थांश 📏 दूरी सूत्र ✂️ विभाजन सूत्र 📊 त्रिभुज क्षेत्रफल 📌 परीक्षा सारांश 🎯 अभ्यास प्रश्न 📝 MCQ Test

📖 पाठ परिचय — निर्देशांक ज्यामिति क्या है?

मैं जब भी यह अध्याय अपनी क्लास में शुरू करता हूँ, छात्रों से एक सवाल पूछता हूँ — "अगर आप किसी अनजान शहर में खड़े हैं और आपको किसी खास घर पहुँचना है, तो आप क्या पूछते हैं?" छात्र कहते हैं: गली नंबर और मकान नंबर। निर्देशांक ज्यामिति में ठीक यही होता है — किसी समतल तल (Cartesian Plane) पर किसी बिंदु की सटीक स्थिति उसका क्रमित युग्म (x, y) होता है!

17वीं शताब्दी के महान फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस (René Descartes) ने सबसे पहले बीजगणित (Algebra) और ज्यामिति (Geometry) को एक साथ जोड़ा, इसलिए इस तल को कार्तीय तल (Cartesian Plane) भी कहा जाता है।

• x-निर्देशांक (भुज - Abscissa): y-अक्ष से बिंदु की लंबवत/क्षैतिज दूरी।
• y-निर्देशांक (कोटि - Ordinate): x-अक्ष से बिंदु की लंबवत/ऊर्ध्वाधर दूरी।
• मूल बिंदु (Origin): जहाँ दोनों अक्ष एक-दूसरे को लंबवत काटते हैं, उसके निर्देशांक सदैव (0, 0) होते हैं।

💡 शिक्षक की याद रखने की ट्रिक: अंग्रेजी वर्णमाला में 'x' पहले आता है और 'y' बाद में। हिंदी में 'भुज' पहले आता है और 'कोटि' बाद में। अतः क्रमित युग्म (x, y) में पहला मान हमेशा भुज (x) और दूसरा हमेशा कोटि (y) होगा।

पहला कदम — चतुर्थांश (Quadrants) और अक्षों पर बिंदु

दोनों अक्ष कार्तीय तल को चार बराबर भागों में बाँटते हैं, जिन्हें चतुर्थांश कहते हैं:

चित्र 1: कार्तीय तल के चार चतुर्थांश और उनके चिन्ह

चतुर्थांश	चिन्ह (x, y)	उदाहरण बिंदु	पहचानने की ट्रिक
प्रथम (I)	(+, +)	(2, 3), (4, 5)	दोनों मान धनात्मक
द्वितीय (II)	(−, +)	(−2, 3), (−5, 1)	x ऋणात्मक, y धनात्मक
तृतीय (III)	(−, −)	(−2, −3), (−4, −5)	दोनों मान ऋणात्मक
चतुर्थ (IV)	(+, −)	(2, −3), (6, −2)	x धनात्मक, y ऋणात्मक

⚠️ छात्र अक्सर यहाँ गलती करते हैं:

• यदि कोई बिंदु x-अक्ष पर है, तो उसकी कोटि हमेशा शून्य होगी: (x, 0)।
• यदि कोई बिंदु y-अक्ष पर है, तो उसका भुज हमेशा शून्य होगा: (0, y)।
• मूल बिंदु (0, 0) या अक्षों पर स्थित बिंदु किसी भी चतुर्थांश में नहीं आते!

दूसरा कदम — दूरी सूत्र (Distance Formula)

समतल पर किन्हीं दो बिंदुओं P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) के बीच सीधी दूरी ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग किया जाता है:

PQ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

मूल बिंदु (0, 0) से किसी बिंदु P(x, y) की दूरी:

OP = √(x² + y²)

चित्र 2: दूरी सूत्र — पाइथागोरस प्रमेय का अनुप्रयोग

उदाहरण 1: दो बिंदुओं के बीच दूरी

बिंदु A(2, 3) और B(4, 1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

1

यहाँ x₁ = 2, y₁ = 3 तथा x₂ = 4, y₂ = 1

2

दूरी सूत्र: AB = √[(4 − 2)² + (1 − 3)²]

3

= √[(2)² + (−2)²] = √[4 + 4] = √8

4

√8 = √(4 × 2) = 2√2 मात्रक

उत्तर: दूरी = 2√2 मात्रक

💡 शिक्षक की सलाह: दूरी सदैव धनात्मक (Positive) होती है। कोष्ठक के अंदर चाहे संख्या ऋणात्मक आए, वर्ग करने पर वह हमेशा धनात्मक बन जाएगी [(−2)² = +4]!

तीसरा कदम — विभाजन सूत्र (Section Formula)

यदि कोई बिंदु P(x, y), बिंदुओं A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से m₁ : m₂ के अनुपात में विभाजित करता है, तो:

x = (m₁x₂ + m₂x₁) / (m₁ + m₂)
y = (m₁y₂ + m₂y₁) / (m₁ + m₂)

मध्य-बिंदु सूत्र (Midpoint Formula)

जब बिंदु P रेखाखंड AB को ठीक बीचों-बीच (1:1 अनुपात में) काटता है:

x = (x₁ + x₂) / 2,    y = (y₁ + y₂) / 2

उदाहरण 2: विभाजन सूत्र का प्रयोग

उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो (−1, 7) और (4, −3) को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।

1

यहाँ x₁ = −1, y₁ = 7, x₂ = 4, y₂ = −3 तथा m₁ = 2, m₂ = 3

2

x = [2(4) + 3(−1)] / (2 + 3) = (8 − 3) / 5 = 5/5 = 1

3

y = [2(−3) + 3(7)] / (2 + 3) = (−6 + 21) / 5 = 15/5 = 3

उत्तर: अभीष्ट बिंदु = (1, 3)

4. त्रिभुज का क्षेत्रफल और संरेखी होने की शर्त

यदि किसी त्रिभुज के तीनों शीर्ष A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) और C(x₃, y₃) हों, तो उसका क्षेत्रफल:

Area = 1/2 | x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂) |

💡 याद रखने का जादुई कोड (123-231-312):
1. 123 → x₁ (y₂ − y₃)
2. 231 → x₂ (y₃ − y₁)
3. 312 → x₃ (y₁ − y₂)
तीनों को जोड़कर 1/2 से गुणा करें और हमेशा धनात्मक मान (मापांक) लें!

⚠️ संरेखी (Collinear) होने की अनिवार्य शर्त:
यदि तीन बिंदु A, B और C एक ही सीधी रेखा में हों, तो उनसे कोई त्रिभुज नहीं बन सकता। अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0 होगा। परीक्षा में जब भी अज्ञात मान 'k' निकालने को कहे, तो क्षेत्रफल को 0 के बराबर रख दें!

📌 परीक्षा सारांश (Master Formulas)

• मूल बिंदु से दूरी: d = √(x² + y²)
• दो बिंदुओं के बीच दूरी: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
• मध्य-बिंदु निर्देशांक: [(x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2]
• अनुपात k:1 विधि: जब भी प्रश्न पूछे "किस अनुपात में विभाजित करता है?", तो अनुपात हमेशा k : 1 मानें।
• त्रिभुज का केन्द्रक: [(x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3]
• चतुर्भुज का क्षेत्रफल: एक विकर्ण खींचकर उसे दो त्रिभुजों में बाँटें और दोनों के क्षेत्रफलों को जोड़ दें।

🎯 प्रश्नोत्तरी — Step-by-Step समाधान

परीक्षा में पूरे अंक लाने के लिए प्रत्येक चरण को स्पष्ट लिखें।

I. अति लघु उत्तरीय प्रश्न — 20 प्रश्न

1निर्देशांक ज्यामिति में किसी बिंदु को किस रूप में दर्शाया जाता है?▼

उत्तर:क्रमित युग्म (x, y) के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ x भुज और y कोटि है।

2मूल बिंदु (Origin) के निर्देशांक क्या होते हैं?▼

उत्तर:(0, 0)।

3प्रथम चतुर्थांश में x और y के चिन्ह क्या होते हैं?▼

उत्तर:दोनों धनात्मक (+, +) होते हैं।

4बिंदु (−4, 3) किस चतुर्थांश में स्थित है?▼

उत्तर:यहाँ चिन्ह (−, +) है, अतः यह द्वितीय चतुर्थांश (Second Quadrant) में स्थित है।

5बिंदु (4, −5) में भुज और कोटि का मान बताइए।▼

उत्तर:भुज (x) = 4 तथा कोटि (y) = −5।

6x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का y-निर्देशांक (कोटि) क्या होता है?▼

उत्तर:सदैव शून्य (0) होता है अर्थात बिंदु (x, 0) होता है।

7y-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का x-निर्देशांक (भुज) क्या होता है?▼

उत्तर:सदैव शून्य (0) होता है अर्थात बिंदु (0, y) होता है।

8बिंदु (3, 5) की y-अक्ष से लंबवत दूरी क्या होगी?▼

उत्तर:y-अक्ष से दूरी x-निर्देशांक के बराबर होती है = 3 मात्रक।

9बिंदु (3, −5) की x-अक्ष से लंबवत दूरी क्या होगी?▼

उत्तर:x-अक्ष से दूरी |y| होती है = |−5| = 5 मात्रक (दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती)।

10बिंदु (−6, 8) की मूल बिंदु से दूरी क्या होगी?▼

उत्तर:d = √(x² + y²) = √[(−6)² + 8²] = √(36 + 64) = √100 = 10 मात्रक।

11दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के मध्य-बिंदु का सूत्र लिखिए।▼

उत्तर:[(x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2]।

12तीन बिंदुओं के संरेखी (Collinear) होने पर त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना होता है?▼

उत्तर:0 (शून्य)।

13x-अक्ष का समीकरण क्या होता है?▼

उत्तर:y = 0।

14y-अक्ष का समीकरण क्या होता है?▼

उत्तर:x = 0।

15बिंदु (−3, −5) किस चतुर्थांश में है?▼

उत्तर:तृतीय चतुर्थांश में (क्योंकि दोनों चिन्ह ऋणात्मक हैं)।

16बिंदु (0, −5) कार्तीय तल पर कहाँ स्थित है?▼

उत्तर:y-अक्ष की ऋणात्मक दिशा पर स्थित है।

17बिंदु (3, 0) कार्तीय तल पर कहाँ स्थित है?▼

उत्तर:x-अक्ष की धनात्मक दिशा पर स्थित है।

18बिंदु (a, b) और (−a, −b) के बीच की दूरी क्या होगी?▼

उत्तर:d = √[(−a − a)² + (−b − b)²] = √[(−2a)² + (−2b)²] = √(4a² + 4b²) = 2√(a² + b²)।

19त्रिभुज के केन्द्रक (Centroid) का सूत्र क्या है?▼

उत्तर:[(x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3]।

20निर्देशांक ज्यामिति का जनक (Father of Coordinate Geometry) किसे कहा जाता है?▼

उत्तर:रेने डेसकार्टेस (René Descartes) को।

II. लघु उत्तरीय प्रश्न — 10 प्रश्न (Step-by-Step)

21बिंदुओं (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: दिए गए बिंदु: (x₁, y₁) = (2, 3) तथा (x₂, y₂) = (4, 1)
चरण 2: दूरी सूत्र: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
चरण 3: d = √[(4 − 2)² + (1 − 3)²] = √[2² + (−2)²] = √[4 + 4] = √8
चरण 4: √8 = √(4 × 2) = 2√2 मात्रक
अंतिम उत्तर: दूरी = 2√2 मात्रक।

22बिंदुओं (−5, 7) और (−1, 3) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: x₁ = −5, y₁ = 7 तथा x₂ = −1, y₂ = 3
चरण 2: d = √[(−1 − (−5))² + (3 − 7)²]
चरण 3: = √[(−1 + 5)² + (−4)²] = √[4² + 16] = √[16 + 16] = √32
चरण 4: √32 = √(16 × 2) = 4√2
अंतिम उत्तर: दूरी = 4√2 मात्रक।

23उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो (−1, 7) और (4, −3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।▼

समाधान:
चरण 1: x₁ = −1, y₁ = 7, x₂ = 4, y₂ = −3 तथा m₁ = 2, m₂ = 3
चरण 2: x = (m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂) = [2(4) + 3(−1)] / (2 + 3) = (8 − 3)/5 = 5/5 = 1
चरण 3: y = (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁ + m₂) = [2(−3) + 3(7)] / (2 + 3) = (−6 + 21)/5 = 15/5 = 3
अंतिम उत्तर: अभीष्ट बिंदु के निर्देशांक = (1, 3)।

24y का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए P(2, −3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।▼

समाधान:
चरण 1: PQ = 10 ⇒ PQ² = 100
चरण 2: (10 − 2)² + [y − (−3)]² = 100
चरण 3: 8² + (y + 3)² = 100 ⇒ 64 + (y + 3)² = 100
चरण 4: (y + 3)² = 100 − 64 = 36 ⇒ y + 3 = ±6
चरण 5: y = 6 − 3 = 3 अथवा y = −6 − 3 = −9
अंतिम उत्तर: y = 3 अथवा −9।

25बिंदु (4, −1) और (−2, −3) को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: मध्य-बिंदु सूत्र: [(x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2]
चरण 2: x = [4 + (−2)] / 2 = 2/2 = 1
चरण 3: y = [−1 + (−3)] / 2 = −4/2 = −2
अंतिम उत्तर: मध्य-बिंदु = (1, −2)।

26x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, −5) और (−2, 9) से समदूरस्थ (Equidistant) है।▼

समाधान:
चरण 1: माना x-अक्ष पर वह बिंदु P(x, 0) है। दिया है: PA = PB ⇒ PA² = PB²
चरण 2: PA² = (x − 2)² + (0 − (−5))² = x² − 4x + 4 + 25 = x² − 4x + 29
चरण 3: PB² = [x − (−2)]² + (0 − 9)² = (x + 2)² + 81 = x² + 4x + 4 + 81 = x² + 4x + 85
चरण 4: x² − 4x + 29 = x² + 4x + 85 ⇒ −4x − 4x = 85 − 29
चरण 5: −8x = 56 ⇒ x = −7
अंतिम उत्तर: वह बिंदु (−7, 0) है।

27जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (1, 5), (2, 3) और (−2, −11) संरेखी (Collinear) हैं?▼

समाधान:
चरण 1: त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र लगाएँ:
Area = 1/2 |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
चरण 2: = 1/2 |1(3 − (−11)) + 2(−11 − 5) + (−2)(5 − 3)|
चरण 3: = 1/2 |1(14) + 2(−16) − 2(2)| = 1/2 |14 − 32 − 4| = 1/2 |−22| = 11 ≠ 0
निष्कर्ष: चूँकि क्षेत्रफल 0 नहीं आया (11 वर्ग मात्रक आया है), अतः ये बिंदु संरेखी नहीं हैं।

28k का मान ज्ञात कीजिए यदि बिंदु A(2, 3), B(4, k) और C(6, −3) संरेखी हैं।▼

समाधान:
चरण 1: संरेखी होने पर त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0
1/2 [x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)] = 0
चरण 2: 2[k − (−3)] + 4(−3 − 3) + 6(3 − k) = 0
चरण 3: 2(k + 3) + 4(−6) + 6(3 − k) = 0
चरण 4: 2k + 6 − 24 + 18 − 6k = 0 ⇒ −4k = 0 ⇒ k = 0
अंतिम उत्तर: k = 0।

29बिंदु A(5, 2), B(4, 7) और C(7, −4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: Area = 1/2 |5(7 − (−4)) + 4(−4 − 2) + 7(2 − 7)|
चरण 2: = 1/2 |5(11) + 4(−6) + 7(−5)| = 1/2 |55 − 24 − 35|
चरण 3: = 1/2 |55 − 59| = 1/2 |−4| = 4/2 = 2 वर्ग मात्रक
अंतिम उत्तर: क्षेत्रफल = 2 वर्ग मात्रक।

30बिंदुओं A(4, −3) और B(8, 5) को 3:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: x = (3×8 + 1×4) / (3 + 1) = (24 + 4)/4 = 28/4 = 7
चरण 2: y = [3×5 + 1×(−3)] / (3 + 1) = (15 − 3)/4 = 12/4 = 3
अंतिम उत्तर: अभीष्ट बिंदु = (7, 3)।

III. दीर्घ उत्तरीय प्रश्न — 5 प्रश्न (Step-by-Step)

31उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (2, 3), (−1, 0) और (2, −4) हैं।▼

समाधान:
चरण 1: शीर्ष पहचानें: x₁ = 2, y₁ = 3; x₂ = −1, y₂ = 0; x₃ = 2, y₃ = −4
चरण 2: क्षेत्रफल सूत्र:
Area = 1/2 |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
चरण 3: मान प्रतिस्थापित करें:
= 1/2 |2[0 − (−4)] + (−1)(−4 − 3) + 2(3 − 0)|
= 1/2 |2(4) + (−1)(−7) + 2(3)|
= 1/2 |8 + 7 + 6| = 1/2 |21| = 21/2 = 10.5
अंतिम उत्तर: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 10.5 वर्ग मात्रक।

32यदि A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) और D(p, 3) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष इसी क्रम में हों, तो p का मान ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण (AC और BD) एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
अर्थात विकर्ण AC का मध्य-बिंदु = विकर्ण BD का मध्य-बिंदु।
चरण 2: AC का मध्य-बिंदु = [(6 + 9)/2, (1 + 4)/2] = (15/2, 5/2)
चरण 3: BD का मध्य-बिंदु = [(8 + p)/2, (2 + 3)/2] = [(8 + p)/2, 5/2]
चरण 4: दोनों के x-निर्देशांक बराबर रखें:
(8 + p)/2 = 15/2 ⇒ 8 + p = 15 ⇒ p = 15 − 8 = 7
अंतिम उत्तर: p = 7।

33बिंदुओं A(−2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: रेखाखंड AB को 4 बराबर भागों में बाँटने के लिए 3 बिंदु P, Q, R की आवश्यकता है (A — P — Q — R — B)।
चरण 2: बिंदु Q, रेखाखंड AB का ठीक मध्य-बिंदु है:
Q = [(−2 + 2)/2, (2 + 8)/2] = (0/2, 10/2) = (0, 5)
चरण 3: बिंदु P, रेखाखंड AQ का मध्य-बिंदु है:
P = [(−2 + 0)/2, (2 + 5)/2] = (−2/2, 7/2) = (−1, 3.5)
चरण 4: बिंदु R, रेखाखंड QB का मध्य-बिंदु है:
R = [(0 + 2)/2, (5 + 8)/2] = (2/2, 13/2) = (1, 6.5)
अंतिम उत्तर: तीनों बिंदुओं के निर्देशांक (−1, 7/2), (0, 5) तथा (1, 13/2) हैं।

34बिंदुओं (5, −6) और (−1, −4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को y-अक्ष किस अनुपात में विभाजित करता है? इस प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: माना y-अक्ष इस रेखाखंड को k : 1 के अनुपात में बिंदु P(0, y) पर विभाजित करता है।
चरण 2: विभाजन सूत्र से x-निर्देशांक:
0 = [k(−1) + 1(5)] / (k + 1) ⇒ −k + 5 = 0 ⇒ k = 5
अतः अभीष्ट अनुपात 5 : 1 है।
चरण 3: अब y-निर्देशांक निकालें:
y = [5(−4) + 1(−6)] / (5 + 1) = (−20 − 6) / 6 = −26/6 = −13/3
अंतिम उत्तर: अनुपात = 5:1 तथा प्रतिच्छेद बिंदु = (0, −13/3)।

35उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष इसी क्रम में (−4, −2), (−3, −5), (3, −2) और (2, 3) हैं।▼

समाधान:
चरण 1: विकर्ण AC खींचकर चतुर्भुज ABCD को दो त्रिभुजों ΔABC और ΔACD में बाँटें।
चरण 2: Ar(ΔABC) शीर्ष (−4, −2), (−3, −5), (3, −2):
= 1/2 |−4(−5 − (−2)) + (−3)(−2 − (−2)) + 3(−2 − (−5))|
= 1/2 |−4(−3) + (−3)(0) + 3(3)| = 1/2 |12 + 0 + 9| = 21/2 वर्ग मात्रक
चरण 3: Ar(ΔACD) शीर्ष (−4, −2), (3, −2), (2, 3):
= 1/2 |−4(−2 − 3) + 3(3 − (−2)) + 2(−2 − (−2))|
= 1/2 |−4(−5) + 3(5) + 2(0)| = 1/2 |20 + 15 + 0| = 35/2 वर्ग मात्रक
चरण 4: चतुर्भुज का क्षेत्रफल = Ar(ΔABC) + Ar(ΔACD) = 21/2 + 35/2 = 56/2 = 28 वर्ग मात्रक
अंतिम उत्तर: चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 28 वर्ग मात्रक।

📝 50 MCQ Online Test

समय: 50 मिनट   |   प्रश्न: 50   |   तुरंत सही/गलत चिन्ह

प्रगति0 / 50

0 / 50

Q1. बिंदु (-4, 3) किस चतुर्थांश (Quadrant) में स्थित है?

A. प्रथम B. द्वितीय C. तृतीय D. चतुर्थ

व्याख्या: यहाँ x ऋणात्मक और y धनात्मक (−, +) है, अतः यह द्वितीय चतुर्थांश में है।

Q2. मूल बिंदु (Origin) के निर्देशांक क्या होते हैं?

A. (1, 1) B. (0, 0) C. (0, 1) D. (1, 0)

व्याख्या: दोनों अक्षों का कटान बिंदु मूल बिंदु (0, 0) कहलाता है।

Q3. बिंदु (4, -5) में 'भुज' (Abscissa) का मान क्या है?

A. 4 B. -5 C. -1 D. 9

व्याख्या: x-निर्देशांक को भुज कहते हैं, यहाँ भुज = 4 है।

Q4. बिंदु (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी क्या होगी?

A. 2√2 B. 2 C. 4 D. √2

व्याख्या: d = √[(4−2)² + (1−3)²] = √(4 + 4) = √8 = 2√2 मात्रक।

Q5. x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का y-निर्देशांक क्या होता है?

A. 1 B. -1 C. 0 D. कोई भी संख्या

व्याख्या: x-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु की कोटि (y) सदैव 0 होती है।

Q6. बिंदु (6, -5) का x-निर्देशांक (भुज) क्या है?

A. 6 B. -5 C. -6 D. 5

व्याख्या: पहला मान भुज x = 6 है।

Q7. y-अक्ष से बिंदु (3, 5) की दूरी क्या है?

A. 5 B. 3 C. 8 D. √34

व्याख्या: y-अक्ष से दूरी = |x| = 3 मात्रक।

Q8. बिंदुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक क्या हैं?

A. (3, 4) B. (1.5, 2) C. (5, 10) D. (-1.5, -2)

व्याख्या: [(-1 + 4)/2, (7 - 3)/2] = (3/2, 4/2) = (1.5, 2)।

Q9. बिंदु (2, 3) की मूल बिंदु से दूरी कितनी है?

A. 5 B. √13 C. 6 D. 13

व्याख्या: d = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13 मात्रक।

Q10. x = -5 का आलेख कैसी रेखा होगी?

A. x-अक्ष के समांतर B. y-अक्ष के समांतर C. मूल बिंदु से जाती हुई D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: x = k सदैव y-अक्ष के समांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है।

Q11. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का मानक सूत्र क्या है?

A. 1/2 [x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)] B. x₁ + x₂ + x₃ C. √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: यह 123-231-312 क्रम पर आधारित सही क्षेत्रफल सूत्र है।

Q12. यदि बिंदु A(1, 2), O(0, 0) और C(a, b) संरेखी हों, तो क्या संबंध सही है?

A. a = b B. a = 2b C. 2a = b D. a + b = 0

व्याख्या: ढाल m₁ = m₂ ⇒ (2 − 0)/(1 − 0) = (b − 0)/(a − 0) ⇒ 2 = b/a ⇒ 2a = b।

Q13. बिंदु (-3, -5) किस पाद (चतुर्थांश) में है?

A. प्रथम B. द्वितीय C. तृतीय D. चतुर्थ

व्याख्या: दोनों मान ऋणात्मक (−, −) होने से यह तृतीय चतुर्थांश में है।

Q14. कार्तीय तल में क्षैतिज रेखा (Horizontal Line) को क्या कहते हैं?

A. x-अक्ष B. y-अक्ष C. मूल बिंदु D. भुज

व्याख्या: क्षैतिज रेखा को x-अक्ष कहा जाता है।

Q15. बिंदु (4, 3) किस पाद में स्थित है?

A. प्रथम B. द्वितीय C. तृतीय D. चतुर्थ

व्याख्या: दोनों मान धनात्मक (+, +) होने से प्रथम पाद में है।

Q16. बिंदु (2, -3) और (2, 2) के बीच की दूरी क्या है?

A. 1 B. 3 C. 5 D. 4

व्याख्या: x समान है, अतः दूरी = |2 − (−3)| = 5 मात्रक।

Q17. यदि बिंदु (x, 2) और (3, 4) के बीच की दूरी 8 हो, तो x का मान क्या होगा?

A. 3 ± √60 B. 60 C. 3 D. 4

व्याख्या: (x − 3)² + (2 − 4)² = 64 ⇒ (x − 3)² = 60 ⇒ x = 3 ± √60।

Q18. y-अक्ष का समीकरण क्या होता है?

A. x = 0 B. y = 0 C. x = y D. x + y = 0

व्याख्या: y-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का x = 0 होता है।

Q19. किसी त्रिभुज के केंद्रक (Centroid) के निर्देशांक क्या होते हैं?

A. (x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3 B. (x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2 C. x₁+x₂+x₃, y₁+y₂+y₃ D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: तीनों शीर्षों के औसत निर्देशांक [(x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3] होते हैं।

Q20. बिंदु (0, -5) कहाँ स्थित है?

A. x-अक्ष पर B. y-अक्ष पर C. तृतीय पाद में D. चतुर्थ पाद में

व्याख्या: x = 0 होने से बिंदु y-अक्ष पर स्थित है।

Q21. विभाजन सूत्र में यदि अनुपात m₁:m₂ हो, तो x का मान क्या होता है?

A. (m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁+m₂) B. (m₁x₂ - m₂x₁)/(m₁-m₂) C. (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁+m₂) D. (x₁ + x₂)/2

व्याख्या: सही विभाजन सूत्र (m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂) है।

Q22. बिंदु (3, -4) की कोटि (Ordinate) क्या है?

A. 3 B. -4 C. 4 D. -1

व्याख्या: y-निर्देशांक कोटि कहलाता है, यहाँ कोटि = −4 है।

Q23. यदि तीन बिंदु संरेखी हों, तो उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?

A. 1 B. 0 C. अनंत D. ऋणात्मक

व्याख्या: एक सीध में स्थित बिंदुओं से कोई त्रिभुज नहीं बनता, अतः क्षेत्रफल = 0।

Q24. बिंदु A(4, 5) और B(6, 5) को मिलाने वाली रेखा कैसी होगी?

A. x-अक्ष के समांतर B. y-अक्ष के समांतर C. मूल बिंदु से गुजरेगी D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: y-निर्देशांक स्थिर (y = 5) है, अतः यह x-अक्ष के समांतर एक क्षैतिज रेखा है।

Q25. निर्देशांक अक्षों के प्रतिच्छेद बिंदु को क्या कहते हैं?

A. भुज B. कोटि C. मूल बिंदु D. चतुर्थांश

व्याख्या: दोनों अक्ष जहाँ मिलते हैं उसे मूल बिंदु (Origin) कहते हैं।

Q26. (-5, -3) और (-5, 3) के बीच की दूरी क्या है?

A. 0 B. 6 C. 10 D. 3

व्याख्या: x समान है, अतः दूरी = |3 − (−3)| = 6 इकाई।

Q27. x-अक्ष का समीकरण क्या होता है?

A. x = 0 B. y = 0 C. x = y D. x = 1

व्याख्या: x-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का y = 0 होता है।

Q28. (0, 0), (3, 0) और (0, 4) से बने त्रिभुज का परिमाप क्या है?

A. 7 B. 12 C. 5 D. 6

व्याख्या: भुजाएँ 3, 4 और कर्ण √(3²+4²) = 5। परिमाप = 3 + 4 + 5 = 12 मात्रक।

Q29. A(3, 4) और B(-3, 8) के मध्य बिंदु के निर्देशांक हैं:

A. (0, 12) B. (0, 6) C. (6, 6) D. (-3, 4)

व्याख्या: x = (3 − 3)/2 = 0 तथा y = (4 + 8)/2 = 6 ⇒ (0, 6)।

Q30. बिंदु (a, b) और (-a, -b) के बीच की दूरी क्या है?

A. 2√(a² + b²) B. 0 C. √(a² + b²) D. 2(a + b)

व्याख्या: d = √[(2a)² + (2b)²] = √(4a² + 4b²) = 2√(a² + b²)।

Q31. x-अक्ष से बिंदु Q(3, -5) की दूरी कितनी है?

A. 3 B. -5 C. 5 D. √34

व्याख्या: x-अक्ष से लंबवत दूरी = |y| = |−5| = 5 मात्रक।

Q32. (1, 1), (-1, -1) और (-√3, √3) से बनने वाला त्रिभुज कैसा है?

A. समद्विबाहु B. समबाहु C. विषमबाहु D. समकोण

व्याख्या: तीनों भुजाओं की दूरी 2√2 निकलती है, अतः यह समबाहु त्रिभुज है।

Q33. x-अक्ष पर वह बिंदु जो (2, 3) और (6, 3) से समदूरस्थ हो, उसका x-निर्देशांक क्या है?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

व्याख्या: x = (2 + 6)/2 = 4।

Q34. बिंदु A(2, -4) और B(4, -2) के मध्य बिंदु के निर्देशांक क्या हैं?

A. (6, -6) B. (3, -3) C. (1, 1) D. (-2, -2)

व्याख्या: x = (2+4)/2 = 3 तथा y = (−4−2)/2 = −3 ⇒ (3, −3)।

Q35. उस बिंदु के निर्देशांक क्या हैं जो y-अक्ष पर स्थित है और x-अक्ष से 4 इकाई नीचे है?

A. (4, 0) B. (0, 4) C. (0, -4) D. (-4, 0)

व्याख्या: y-अक्ष पर x = 0 तथा 4 इकाई नीचे होने पर y = −4, अतः (0, −4)।

Q36. बिंदु (3, 0) कहाँ स्थित है?

A. x-अक्ष पर B. y-अक्ष पर C. प्रथम पाद में D. द्वितीय पाद में

व्याख्या: y = 0 होने से बिंदु x-अक्ष पर स्थित है।

Q37. यदि किसी बिंदु का भुज 0 है, तो वह बिंदु कहाँ स्थित होगा?

A. x-अक्ष पर B. y-अक्ष पर C. कहीं भी D. मूल बिंदु पर ही

व्याख्या: भुज (x) = 0 होने पर बिंदु सदैव y-अक्ष पर होता है।

Q38. (-3, -4) की मूल बिंदु से दूरी क्या है?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 7

व्याख्या: d = √[(−3)² + (−4)²] = √(9 + 16) = √25 = 5 मात्रक।

Q39. दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को m:n में विभाजित करने वाले सूत्र को क्या कहते हैं?

A. दूरी सूत्र B. विभाजन सूत्र C. हीरोन सूत्र D. मध्य बिंदु सूत्र

व्याख्या: इसे विभाजन सूत्र (Section Formula) कहते हैं।

Q40. बिंदु (4, 3) किस पाद में स्थित है?

A. I B. II C. III D. IV

व्याख्या: (+, +) प्रथम पाद (I) में होता है।

Q41. A(5, 2), B(4, 7) और C(7, -4) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

A. 2 B. -2 C. 4 D. 25

व्याख्या: Area = 1/2 |5(11) + 4(−6) + 7(−5)| = 1/2 |55 − 59| = 1/2 |−4| = 2 वर्ग मात्रक।

Q42. y-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक क्या होता है?

A. 1 B. 0 C. -1 D. कोई भी संख्या

व्याख्या: y-अक्ष पर x सदैव 0 होता है।

Q43. बिंदु P(-6, 8) की मूल बिंदु से दूरी क्या है?

A. 8 B. 2√7 C. 10 D. 6

व्याख्या: √(36 + 64) = √100 = 10 मात्रक।

Q44. बिंदु (a, b) और (b, a) के मध्य बिंदु के निर्देशांक क्या होंगे?

A. (a, b) B. (a+b, a+b) C. ((a+b)/2, (a+b)/2) D. (0, 0)

व्याख्या: [(a+b)/2, (b+a)/2] = ((a+b)/2, (a+b)/2)।

Q45. किस चतुर्थांश में भुज (+) और कोटि (-) होती है?

A. प्रथम B. द्वितीय C. तृतीय D. चतुर्थ

व्याख्या: (+, −) चतुर्थ चतुर्थांश में होता है।

Q46. बिंदुओं (0, 0), (5, 0) और (0, 12) द्वारा बने त्रिभुज का कर्ण क्या है?

A. 13 B. 17 C. 5 D. 12

व्याख्या: कर्ण = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 मात्रक।

Q47. यदि चार बिंदु एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों, तो विकर्णों के कटान बिंदु कैसे निकलेंगे?

A. दूरी सूत्र से B. मध्य बिंदु सूत्र से C. विभाजन सूत्र से D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं, अतः मध्य बिंदु सूत्र सबसे उपयुक्त है।

Q48. बिंदु (-2, 3) और (2, 3) के बीच की दूरी क्या है?

A. 2 B. 4 C. 6 D. 0

व्याख्या: y समान है, दूरी = |2 − (−2)| = 4 मात्रक।

Q49. (5, -2) और (9, -2) को मिलाने वाली रेखा की लंबाई क्या है?

A. 4 B. 5 C. 2 D. 14

व्याख्या: लंबाई = 9 − 5 = 4 इकाई।

Q50. निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) का जनक किसे कहा जाता है?

A. न्यूटन B. यूक्लिड C. रेने डेसकार्टेस D. पाइथागोरस

व्याख्या: रेने डेसकार्टेस (René Descartes) ने ही कार्तीय तल और निर्देशांक ज्यामिति की नींव रखी।

📌 अध्याय 7 — त्वरित पुनरावृत्ति

कार्तीय तल → दूरी सूत्र d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] → विभाजन सूत्र (m₁x₂+m₂x₁)/(m₁+m₂) → त्रिभुज क्षेत्रफल [123-231-312] → संरेखी होने पर Area = 0। परीक्षा में निर्देशांकों के चिन्हों (+/−) का विशेष ध्यान रखें।

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📚 अध्याय नेविगेशन (अध्ययन जारी रखें)

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