कक्षा 10 गणित अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म | नोट्स, प्रश्न-उत्तर व MCQ टेस्ट | Bihar Board

📘 Class 10 Maths | Chapter 3

अध्याय 3 : दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

Pair of Linear Equations in Two Variables — Notes, Step-by-Step Solutions, प्रश्नोत्तर & 50 MCQ Test

📚 बिहार बोर्ड🧮 गणित📝 50 MCQ🎯 Exam Focus

परिचयग्राफशर्तेंविलोपनप्रतिस्थापनवज्र-गुणनशब्द-प्रश्नसारांशअभ्यासMCQ

📖 शुरुआत — रैखिक समीकरण युग्म क्यों जरूरी है?

मैं जब भी यह अध्याय शुरू करता हूँ, छात्रों से एक सवाल पूछता हूँ — "अगर एक कलम और एक कॉपी की कीमत 20 रुपये है, और दो कलम और तीन कॉपियों की कीमत 55 रुपये है, तो हर चीज की कीमत कैसे निकालेंगे?" जवाब होता है — एक समीकरण से नहीं निकलेगा, दो समीकरण चाहिए। बस, यही रैखिक समीकरण युग्म है।

इस अध्याय में दो चरों x और y वाले दो रैखिक समीकरणों के युग्म को समझना और हल करना सीखते हैं।

a₁x + b₁y + c₁ = 0    तथा    a₂x + b₂y + c₂ = 0

मुख्य विचार: दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करने वाला (x, y) का युग्म ही समीकरण युग्म का हल है।

💡 मेरी सलाह: जब मैंने पहली बार यह अध्याय पढ़ाया था, तब मुझे एहसास हुआ कि छात्र ग्राफ और बीजीय विधि में सबसे ज्यादा कन्फ्यूज होते हैं। इसलिए मैंने पहले ग्राफ और शर्तें साफ की हैं, फिर विलोपन और प्रतिस्थापन। अगर आप सीधे हल से शुरू करेंगे, तो मुश्किल लगेगा।

📈 पहला कदम — ग्राफ से कैसे पता चले कि कितने हल हैं?

दो चरों वाले रैखिक समीकरण का आलेख एक सरल रेखा होता है। दो रेखाओं की स्थिति से हलों की संख्या पता चलती है।

स्थिति	शर्त	हल
प्रतिच्छेदी	a₁/a₂ ≠ b₁/b₂	एक अद्वितीय हल
समांतर	a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂	कोई हल नहीं
संपाती	a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂	अनगिनत हल

चित्र: तीनों स्थितियाँ — प्रतिच्छेदी, समांतर, संपाती

ट्रिक: पहले दो अनुपात अलग → एक हल। पहले दो बराबर, तीसरा अलग → कोई हल नहीं। तीनों बराबर → अनगिनत हल।

🎯 दूसरा कदम — तीनों शर्तों को विस्तार से समझें

अद्वितीय हल (एक बिंदु पर मिलना)

दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर काटती हैं।

a₁/a₂ ≠ b₁/b₂

कोई हल नहीं (समांतर रेखाएँ)

दोनों रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं।

a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂

अनगिनत हल (संपाती रेखाएँ)

दोनों रेखाएँ एक ही रेखा हो जाती हैं।

a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

⚠️ सबसे आम गलती: छात्र अक्सर c₁/c₂ को भूल जाते हैं। याद रखें: "कोई हल नहीं" में पहले दो बराबर, तीसरा अलग; "अनगिनत हल" में तीनों बराबर।

➗ तीसरा कदम — विलोपन विधि (सबसे तेज तरीका)

किसी एक चर के गुणांकों को बराबर करके जोड़ने या घटाने से उस चर को समाप्त किया जाता है।

उदाहरण: 2x + 3y = 8 और 4x + 5y = 14 को हल करना

1

समीकरण (1) को 2 से गुणा करें ताकि x का गुणांक 4 बन जाए: 4x + 6y = 16 ...(3)

2

समीकरण (3) में से समीकरण (2) घटाएँ: (4x + 6y) − (4x + 5y) = 16 − 14 ⇒ y = 2

3

y = 2 का मान समीकरण (1) में रखें: 2x + 3(2) = 8 ⇒ 2x = 8 − 6 = 2 ⇒ x = 1

हल: x = 1, y = 2

💡 मेरी गलती की कहानी: जब मैं खुद 10वीं में था, तो मैंने एक बार घटाने के बजाय जोड़ दिया था। नतीजा गलत आया। याद रखें: यदि गुणांकों के चिह्न विपरीत हैं, तो जोड़ें; यदि समान हैं, तो घटाएँ।

🔄 चौथा कदम — प्रतिस्थापन विधि (जब एक चर आसानी से निकले)

एक समीकरण से किसी एक चर का मान निकालकर उसे दूसरे समीकरण में रखा जाता है।

उदाहरण: x + y = 5 और 2x − 3y = 4 को हल करना

1

समीकरण (1) से x का मान y के पदों में ज्ञात करें: x = 5 − y

2

x का यह मान समीकरण (2) में रखें: 2(5 − y) − 3y = 4

3

सरल करें: 10 − 2y − 3y = 4 ⇒ 10 − 5y = 4 ⇒ 5y = 6 ⇒ y = 6/5

4

y का मान x के व्यंजक में रखें: x = 5 − 6/5 = (25 − 6)/5 = 19/5

हल: x = 19/5, y = 6/5

💡 सलाह: प्रतिस्थापन तब चुनें जब किसी समीकरण में कोई चर अकेला हो (जैसे x = … या y = …)। अन्यथा विलोपन ज्यादा तेज है।

✖️ पाँचवां कदम — वज्र-गुणन विधि

जब दोनों समीकरण मानक रूप में हों (a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0), तो वज्र-गुणन विधि सीधे x और y दे देती है।

x / (b₁c₂ − b₂c₁) = y / (c₁a₂ − c₂a₁) = 1 / (a₁b₂ − a₂b₁)

अर्थात x = (b₁c₂ − b₂c₁) / (a₁b₂ − a₂b₁) और y = (c₁a₂ − c₂a₁) / (a₁b₂ − a₂b₁)।

⚠️ शर्त: यह विधि तभी काम करती है जब a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0 हो, यानी जब एक अद्वितीय हल हो।

💡 कब चुनें? जब समीकरण सीधे मानक रूप में हों और हल जल्दी निकालना हो। विलोपन और प्रतिस्थापन से ज्यादा तेज, लेकिन चिन्हों में सावधानी चाहिए।

🧩 छठा कदम — शब्द-प्रश्नों को समीकरण में कैसे बदलें?

संख्याएँ

एक संख्या दूसरी की दुगनी और योग 15 हो तो: x = 2y, x + y = 15।

आयु

5 वर्ष पहले पिता की आयु पुत्र की 7 गुनी थी: x − 5 = 7(y − 5)।

भिन्न

अंश x और हर y हो तो दोनों में 1 जोड़ने पर: (x + 1)/(y + 1)।

नाव और धारा

धारा के अनुकूल चाल = x + y तथा धारा के प्रतिकूल चाल = x − y.

⚠️ छात्र अक्सर यहाँ गलती करते हैं: "5 वर्ष पहले" में केवल पिता की आयु से 5 घटा देते हैं, पुत्र की आयु से नहीं। याद रखें: दोनों की आयु से 5 घटेगा।

📌 परीक्षा सारांश — एक नजर में

• मानक रूप: a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0
• अद्वितीय हल: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ (प्रतिच्छेदी रेखाएँ, संगत)
• कोई हल नहीं: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (समांतर रेखाएँ, असंगत)
• अनगिनत हल: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ (संपाती रेखाएँ, आश्रित/संगत)
• y = 0 x-अक्ष का समीकरण है तथा x = 0 y-अक्ष का समीकरण है।
• x = स्थिरांक y-अक्ष के समांतर और y = स्थिरांक x-अक्ष के समांतर होता है।
• k वाले प्रश्नों में हमेशा अनुपातों की तुलना से समीकरण बनाकर हल करें।

🎯 अभ्यास प्रश्न — Step-by-Step समाधान

I. अति लघु उत्तरीय — 20 प्रश्न

1दो चरों वाले रैखिक समीकरण का सामान्य रूप लिखिए।▼

उत्तर:ax + by + c = 0, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a² + b² ≠ 0।

2एक रैखिक समीकरण का आलेख कैसा होता है?▼

उत्तर:एक सीधी सरल रेखा (Straight Line)।

3प्रतिच्छेदी रेखाओं के कितने हल होते हैं?▼

उत्तर:केवल एक अद्वितीय हल (Unique Solution)।

4समांतर रेखाओं के कितने हल होते हैं?▼

उत्तर:शून्य (कोई हल नहीं)।

5संपाती रेखाओं के कितने हल होते हैं?▼

उत्तर:अपरिमित रूप से अनेक (अनगिनत) हल।

6अद्वितीय हल की शर्त लिखिए।▼

उत्तर:a₁/a₂ ≠ b₁/b₂।

7कोई हल नहीं की शर्त लिखिए।▼

उत्तर:a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂।

8अनगिनत हल की शर्त लिखिए।▼

उत्तर:a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂।

9y = 0 किस अक्ष का समीकरण है?▼

उत्तर:x-अक्ष का (क्योंकि x-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु की कोटि y=0 होती है)।

10x = −5 किस अक्ष के समांतर है?▼

उत्तर:y-अक्ष के समांतर।

11x − y = 0 का क्या अर्थ है?▼

उत्तर:x = y (अर्थात रेखा मूल बिंदु (0,0) से 45° के कोण पर गुजरती है)।

12विलोपन विधि का मुख्य उद्देश्य क्या है?▼

उत्तर:गुणांक समान बनाकर किसी एक चर को जोड़कर या घटाकर समाप्त (Eliminate) करना।

13प्रतिस्थापन विधि में क्या किया जाता है?▼

उत्तर:एक समीकरण से किसी एक चर का मान दूसरे चर के पदों में निकालकर दूसरे समीकरण में रखा जाता है।

14संगत समीकरण युग्म का अर्थ क्या है?▼

उत्तर:ऐसा समीकरण युग्म जिसका कम-से-कम एक हल अवश्य हो (अद्वितीय अथवा अनेक हल)।

15असंगत समीकरण युग्म का अर्थ क्या है?▼

उत्तर:ऐसा समीकरण युग्म जिसका कोई भी वास्तविक हल न हो।

16आश्रित युग्म का परिणाम क्या होता है?▼

उत्तर:संपाती रेखाएँ और अनगिनत (अनंत) हल।

172x + y = 7 में x = 2 हो तो y कितना है?▼

उत्तर:2(2) + y = 7 ⇒ 4 + y = 7 ⇒ y = 3।

18x + y = 14 और x − y = 4 में x कितना है?▼

उत्तर:दोनों को जोड़ने पर 2x = 18 ⇒ x = 9।

19उसी युग्म में y कितना है?▼

उत्तर:9 + y = 14 ⇒ y = 5।

20वज्र-गुणन किसकी एक बीजीय विधि है?▼

उत्तर:दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का हल सीधे सूत्रों द्वारा ज्ञात करने की विधि।

II. लघु उत्तरीय — 10 प्रश्न (Step-by-Step)

12x + 3y = 8 और 4x + 5y = 14 को विलोपन विधि से हल कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: 2x + 3y = 8 ...(1) तथा 4x + 5y = 14 ...(2)
चरण 2: समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर: 4x + 6y = 16 ...(3)
चरण 3: समीकरण (3) में से (2) घटाने पर: (4x + 6y) − (4x + 5y) = 16 − 14 ⇒ y = 2
चरण 4: y = 2 समीकरण (1) में रखने पर: 2x + 3(2) = 8 ⇒ 2x = 8 − 6 = 2 ⇒ x = 1
अंतिम उत्तर: x = 1, y = 2।

2x + y = 5 और 2x − 3y = 4 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: समीकरण (1) से: x = 5 − y
चरण 2: x का मान समीकरण (2) में रखें: 2(5 − y) − 3y = 4
चरण 3: 10 − 2y − 3y = 4 ⇒ 10 − 5y = 4 ⇒ 5y = 6 ⇒ y = 6/5
चरण 4: x = 5 − 6/5 = (25 − 6)/5 = 19/5
अंतिम उत्तर: x = 19/5, y = 6/5।

32x + 3y = 5 और 4x + 6y = 10 के हलों की संख्या बताइए।▼

समाधान:
चरण 1: अनुपातों की तुलना करें: a₁/a₂ = 2/4 = 1/2
चरण 2: b₁/b₂ = 3/6 = 1/2 तथा c₁/c₂ = 5/10 = 1/2
चरण 3: चूँकि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ है, अतः रेखाएँ संपाती हैं।
अंतिम उत्तर: अपरिमित रूप से अनेक (अनगिनत) हल।

42x − 3y = 8 और 4x − 6y = 9 के हलों की संख्या बताइए।▼

समाधान:
चरण 1: a₁/a₂ = 2/4 = 1/2
चरण 2: b₁/b₂ = −3/−6 = 1/2
चरण 3: c₁/c₂ = 8/9
चरण 4: चूँकि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ है, अतः रेखाएँ समांतर हैं।
अंतिम उत्तर: कोई हल नहीं (समीकरण युग्म असंगत है)।

5x + 2y = 3 और 5x + ky = 15 के अनगिनत हलों के लिए k ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: अनगिनत हल की शर्त: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
चरण 2: 1/5 = 2/k = 3/15
चरण 3: 1/5 = 2/k ⇒ k × 1 = 5 × 2 ⇒ k = 10
अंतिम उत्तर: k = 10।

6x + 2y = 1 और 5x + ky = 7 के कोई हल न होने के लिए k ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: कोई हल न होने की शर्त: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
चरण 2: 1/5 = 2/k ≠ 1/7
चरण 3: 1/5 = 2/k ⇒ k = 10
(ध्यान दें: k=10 रखने पर 2/10 = 1/5 ≠ 1/7 शर्त संतुष्ट होती है)
अंतिम उत्तर: k = 10।

7x + y = 14 और x − y = 4 को हल कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर: (x + y) + (x − y) = 14 + 4
चरण 2: 2x = 18 ⇒ x = 9
चरण 3: x का मान रखने पर: 9 + y = 14 ⇒ y = 5
अंतिम उत्तर: x = 9, y = 5।

82x + 3y = 11 और 2x − 4y = −24 में y ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: समीकरण (1) में से (2) घटाने पर:
(2x + 3y) − (2x − 4y) = 11 − (−24)
चरण 2: 7y = 35 ⇒ y = 5
अंतिम उत्तर: y = 5।

93x + y = 10 में y = 4 हो तो x ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: 3x + 4 = 10
चरण 2: 3x = 10 − 4 = 6
चरण 3: x = 6/3 = 2
अंतिम उत्तर: x = 2।

10एक संख्या दूसरी की दुगनी है और योग 15 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: माना संख्याएँ x और y हैं, जहाँ x = 2y
चरण 2: प्रश्नानुसार: x + y = 15 ⇒ 2y + y = 15 ⇒ 3y = 15 ⇒ y = 5
चरण 3: x = 2(5) = 10
अंतिम उत्तर: संख्याएँ 10 और 5 हैं।

III. दीर्घ उत्तरीय — 5 प्रश्न (Step-by-Step)

1दो रैखिक समीकरणों के आलेख (ग्राफ) द्वारा तीनों प्रकार के हलों की विस्तृत व्याख्या कीजिए।▼

समाधान:
दो चरों वाले समीकरण निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के ग्राफ पर तीन स्थितियाँ संभव हैं:

1. प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting Lines):
जब a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ होता है, तो दोनों सरल रेखाएँ तल पर केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु पर काटती हैं। यह बिंदु समीकरण युग्म का अद्वितीय हल कहलाता है और निकाय संगत होता है।

2. समांतर रेखाएँ (Parallel Lines):
जब a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ होता है, तो दोनों रेखाएँ कभी एक-दूसरे से नहीं मिलतीं। अतः कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता, इसलिए इसका कोई हल नहीं होता और निकाय असंगत कहलाता है।

3. संपाती रेखाएँ (Coincident Lines):
जब a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ होता है, तो दोनों रेखाएँ परस्पर एक के ऊपर एक होती हैं। रेखा का प्रत्येक बिंदु हल होता है, अतः इसके अनगिनत हल होते हैं और निकाय आश्रित/संगत कहलाता है।

2विलोपन विधि को चरण-दर-चरण उदाहरण सहित समझाइए।▼

समाधान:
उदाहरण: हल करें 2x + 3y = 8 ...(1) और 4x + 5y = 14 ...(2)

चरण 1 (गुणांक समान करना): समीकरण (1) में x का गुणांक 2 तथा (2) में 4 है। x के गुणांक बराबर करने हेतु समीकरण (1) को 2 से गुणा करें:
2 × (2x + 3y = 8) ⇒ 4x + 6y = 16 ...(3)

चरण 2 (विलोपन): समीकरण (3) में से समीकरण (2) को घटाने पर:
(4x + 6y) − (4x + 5y) = 16 − 14
⇒ y = 2

चरण 3 (दूसरे चर का मान): y = 2 का मान समीकरण (1) में रखने पर:
2x + 3(2) = 8 ⇒ 2x + 6 = 8 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1

अंतिम उत्तर: x = 1, y = 2।

3प्रतिस्थापन विधि को उदाहरण सहित समझाइए।▼

समाधान:
उदाहरण: हल करें x + y = 5 ...(1) और 2x − 3y = 4 ...(2)

चरण 1: समीकरण (1) से किसी एक चर को दूसरे के पदों में व्यक्त करें:
x = 5 − y ...(3)

चरण 2: x के इस मान को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करें:
2(5 − y) − 3y = 4

चरण 3: समीकरण को हल करें:
10 − 2y − 3y = 4 ⇒ 10 − 5y = 4 ⇒ 5y = 6 ⇒ y = 6/5

चरण 4: y का मान समीकरण (3) में रखने पर:
x = 5 − 6/5 = (25 − 6)/5 = 19/5

अंतिम उत्तर: x = 19/5, y = 6/5।

4आयु आधारित प्रश्न को रैखिक समीकरण युग्म में बदलने की विधि समझाइए।▼

समाधान:
प्रक्रिया:
चरण 1: दोनों व्यक्तियों की वर्तमान आयु को चर मानें (माना पिता = x वर्ष, पुत्र = y वर्ष)।

चरण 2: समय के अनुसार परिवर्तन करें:
• t वर्ष पूर्व: (x − t) तथा (y − t)
• t वर्ष बाद: (x + t) तथा (y + t)

चरण 3 (समीकरण निर्माण): उदाहरणार्थ, "5 वर्ष पहले पिता की आयु पुत्र की 7 गुनी थी":
(x − 5) = 7(y − 5) ⇒ x − 5 = 7y − 35 ⇒ x − 7y + 30 = 0 ...(1)

चरण 4: प्रश्न की दूसरी शर्त से दूसरा समीकरण बनाकर दोनों को विलोपन अथवा प्रतिस्थापन विधि से हल करें।

5भिन्न आधारित प्रश्न को रैखिक समीकरणों में बदलने की विधि समझाइए।▼

समाधान:
प्रक्रिया:
चरण 1: अभीष्ट भिन्न का अंश x तथा हर y मानें। अतः भिन्न = x/y (जहाँ y ≠ 0)।

चरण 2 (पहली शर्त): यदि अंश और हर दोनों में 1 जोड़ने पर भिन्न 4/5 हो जाती है:
(x + 1) / (y + 1) = 4/5
तिर्यक गुणा (Cross multiply) करने पर: 5(x + 1) = 4(y + 1) ⇒ 5x + 5 = 4y + 4 ⇒ 5x − 4y + 1 = 0 ...(1)

चरण 3 (दूसरी शर्त): प्रश्न की दूसरी शर्त (जैसे घटाने या जोड़ने पर) के अनुसार दूसरा समीकरण बनाएं।

चरण 4: दोनों समीकरणों को हल करके x और y का मान निकालें तथा अभीष्ट भिन्न x/y प्राप्त करें।

📝 50 MCQ Online Test

समय: 50 मिनट   |   प्रश्न: 50   |   तुरंत सही/गलत चिन्ह

प्रगति0 / 50

0 / 50

Q1. रैखिक समीकरण का आलेख (Graph) कैसा होता है?

A. परवलय B. सरल रेखा C. वृत्त D. वक्र रेखा

व्याख्या: 'रैखिक' शब्द ही 'रेखा' से बना है। इसलिए, रैखिक समीकरण का ग्राफ हमेशा एक सीधी सरल रेखा (Straight Line) होता है।

Q2. समीकरण युग्म 2x + 3y = 5 और 4x + 6y = 15 का कोई हल न हो, इसके लिए क्या शर्त है?

A. a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ B. a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ C. a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: जब दो रेखाएँ समांतर होती हैं, तो वे कभी नहीं मिलतीं, इसलिए 'कोई हल नहीं' होता। इसकी शर्त a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ है।

Q3. यदि दो रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (काटती हैं), तो समीकरण के कितने हल होंगे?

A. केवल एक (अद्वितीय) B. कोई हल नहीं C. अनगिनत हल D. दो हल

व्याख्या: रेखाएँ जितनी जगह मिलती हैं, उतने ही हल होते हैं। अगर एक बिंदु पर काट रही हैं, तो केवल एक हल होगा।

Q4. समीकरण x + y = 6 में कितने हल हो सकते हैं?

A. एक B. दो C. अनंत D. शून्य

व्याख्या: यह एक अकेला समीकरण है। इसमें x का मान बदलते जाओगे तो y का मान भी बदलता जाएगा। ऐसे अनगिनत जोड़े बन सकते हैं।

Q5. k के किस मान के लिए समीकरणों x + 2y = 7 और 2x + ky = 14 के संपाती (अनंत) हल होंगे?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

व्याख्या: अनंत हल के लिए अनुपात बराबर होना चाहिए: 1/2 = 2/k ⇒ k = 4।

Q6. यदि समीकरणों का कोई हल न हो, तो वह युग्म क्या कहलाता है?

A. संगत (Consistent) B. असंगत (Inconsistent) C. आश्रित D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: जिसका कोई हल न निकले, उसे 'असंगत' (Inconsistent) कहते हैं।

Q7. समीकरण निकाय 6x - 2y + 9 = 0 और 3x - y + 12 = 0 का आलेख कैसी रेखाएं होंगी?

A. संपाती B. समांतर C. प्रतिच्छेदी D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: a₁/a₂ = 6/3 = 2; b₁/b₂ = -2/-1 = 2; c₁/c₂ = 9/12 = 3/4। पहले दो बराबर हैं पर तीसरा नहीं (2 = 2 ≠ 3/4)। अतः समांतर रेखाएँ होंगी।

Q8. x = -5 का आलेख कैसी सरल रेखा होगी?

A. x-अक्ष के समांतर B. y-अक्ष के समांतर C. मूल बिंदु से जाती हुई D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: जब x का मान स्थिर (-5) हो, तो लाइन y-अक्ष के समांतर होती है।

Q9. यदि समीकरण x + 2y = 3 और 5x + ky = 15 के अनगिनत हल हों, तो k का मान क्या होगा?

A. 5 B. 10 C. 2 D. 6

व्याख्या: अनगिनत हल के लिए: 1/5 = 2/k ⇒ k = 10।

Q10. समीकरण युग्म x + 2y = 4 और 2x + y = 5 का हल क्या होगा?

A. (2, 1) B. (1, 2) C. (2, 2) D. (1, 1)

व्याख्या: x=2, y=1 रखने पर 2 + 2(1) = 4 तथा 2(2) + 1 = 5 दोनों संतुष्ट होते हैं।

Q11. दो चरों वाले रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 के कितने अधिकतम हल संभव हैं?

A. 1 B. 2 C. अनगिनत D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: एक अकेले रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक (अनगिनत) हल होते हैं।

Q12. यदि 2x + 3y = 11 और 2x - 4y = -24 हो, तो y का मान क्या होगा?

A. 4 B. 5 C. 1 D. -2

व्याख्या: घटाने पर: 7y = 35 ⇒ y = 5।

Q13. रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की कितनी प्रमुख बीजीय विधियां हैं?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

व्याख्या: 3 मुख्य विधियाँ हैं: (1) प्रतिस्थापन, (2) विलोपन, और (3) वज्र-गुणन।

Q14. आश्रित समीकरणों के युग्म का हल कैसा होता है?

A. अद्वितीय (एक हल) B. कोई हल नहीं C. अनगिनत हल D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: आश्रित समीकरणों की रेखाएँ संपाती होती हैं, अतः अनगिनत हल होते हैं।

Q15. यदि समीकरण निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 में a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ हो, तो हल कैसा होगा?

A. कोई हल नहीं B. अद्वितीय (एक) हल C. अनेक हल D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ अद्वितीय (Unique) हल की शर्त है।

Q16. समीकरण x + y = 14 और x - y = 4 को हल करने पर x का मान क्या होगा?

A. 5 B. 9 C. 4 D. 10

व्याख्या: जोड़ने पर 2x = 18 ⇒ x = 9।

Q17. यदि एक भिन्न के अंश और हर दोनों में 1 जोड़ दिया जाए, तो वह 4/5 हो जाती है। यह कथन किस समीकरण द्वारा व्यक्त होगा?

A. (x+1)/(y+1) = 4/5 B. x/(y+1) = 4/5 C. (x+1)/y = 4/5 D. x/y = 4/5

व्याख्या: अंश में 1 जोड़ने पर x+1 और हर में 1 जोड़ने पर y+1 होगा।

Q18. y - 4 = 0 का आलेख कैसी रेखा होगी?

A. x-अक्ष के समांतर B. y-अक्ष के समांतर C. मूल बिंदु से जाती हुई D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: y = 4 रेखा x-अक्ष के समांतर होती है।

Q19. दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। समीकरण क्या होगा? (x = बड़ा, y = छोटा)

A. x + y = 18 B. x - y = 18 C. x = y - 18 D. x + 18 = y

व्याख्या: दोनों कोणों का अंतर 18 डिग्री है, अतः x − y = 18।

Q20. यदि 10y = 30 हो, तो 2y + 5 का मान क्या होगा?

A. 10 B. 11 C. 12 D. 15

व्याख्या: 10y = 30 ⇒ y = 3। अतः 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11।

Q21. समीकरण युग्म 2x + 3y = 5 और 4x + 6y = 10 के कितने हल होंगे?

A. एक B. दो C. कोई नहीं D. अनगिनत

व्याख्या: 2/4 = 3/6 = 5/10 = 1/2। तीनों अनुपात समान हैं, अतः अनगिनत हल होंगे।

Q22. यदि x = 1 और y = 2, समीकरण 3x + ay = 1 के हल हों, तो a का मान क्या होगा?

A. 1 B. -1 C. 2 D. -2

व्याख्या: 3(1) + a(2) = 1 ⇒ 3 + 2a = 1 ⇒ 2a = -2 ⇒ a = -1।

Q23. संगत समीकरण युग्म का ग्राफ कैसा होता है?

A. केवल समांतर B. हमेशा संपाती C. प्रतिच्छेदी या संपाती D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: संगत निकाय के हल होते हैं, जो प्रतिच्छेदी (एक हल) या संपाती (अनेक हल) में संभव है।

Q24. वह समीकरण जिसका आलेख मूल बिंदु (0,0) से होकर गुजरता है, वह कौन सा है?

A. 2x + 3y = 5 B. x + y = 10 C. y = 2x D. x = 4

व्याख्या: (0,0) रखने पर केवल y = 2x (0 = 0) संतुष्ट होता है।

Q25. यदि 2x + y = 7 और 3x + 2y = 12 हो, तो x + y का मान क्या होगा?

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7

व्याख्या: हल करने पर x = 2, y = 3 आता है। अतः x + y = 2 + 3 = 5।

Q26. k के किस मान के लिए समीकरण x + 2y = 3 और 3x + ky = 9 संपाती रेखाओं को दर्शाते हैं?

A. 6 B. 3 C. -6 D. 5

व्याख्या: 1/3 = 2/k ⇒ k = 6।

Q27. यदि 3x - 5y = 0 तथा 9x + 15y = 0 तो x और y के मान होंगे:

A. x=1, y=1 B. x=0, y=0 C. x=3, y=5 D. x=0, y=5

व्याख्या: दोनों रेखाएँ मूल बिंदु से गुजरती हैं और अद्वितीय हल (0,0) है।

Q28. समीकरण x + y = 6 और x = y के हल हैं:

A. (4, 2) B. (2, 4) C. (3, 3) D. (6, 0)

व्याख्या: x + x = 6 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3, अतः y = 3। हल: (3, 3)।

Q29. 2x + 3y = 11 में यदि x = -2 हो, तो y का मान क्या होगा?

A. 3 B. 5 C. -5 D. 15

व्याख्या: 2(-2) + 3y = 11 ⇒ -4 + 3y = 11 ⇒ 3y = 15 ⇒ y = 5।

Q30. पिता की आयु (x) पुत्र की आयु (y) की तिगुनी है। इसे समीकरण में कैसे लिखेंगे?

A. x = y + 3 B. x = 3y C. y = 3x D. x + y = 3

व्याख्या: पिता की आयु x = 3 × पुत्र की आयु y ⇒ x = 3y।

Q31. यदि समीकरणों का अद्वितीय हल (Unique Solution) हो, तो रेखाएं कैसी होंगी?

A. समांतर B. संपाती C. प्रतिच्छेदी D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: एक बिंदु पर काटने वाली रेखाएँ प्रतिच्छेदी होती हैं।

Q32. समीकरण x + 2y - 4 = 0 और 2x + 4y - 12 = 0 के हलों की संख्या क्या है?

A. अनगिनत B. एक C. कोई हल नहीं D. दो

व्याख्या: 1/2 = 2/4 ≠ -4/-12 (1/2 = 1/2 ≠ 1/3), अतः कोई हल नहीं।

Q33. एक संख्या दूसरी संख्या की दुगनी है और दोनों का योग 15 है। संख्याएं क्या होंगी?

A. 10, 5 B. 8, 4 C. 12, 6 D. 6, 3

व्याख्या: 10 = 2(5) तथा 10 + 5 = 15 दोनों शर्तें पूरी होती हैं।

Q34. 5 वर्ष पहले पिता की आयु (x) पुत्र की आयु (y) की 7 गुनी थी। समीकरण क्या होगा?

A. x - 5 = 7(y - 5) B. x = 7y C. x + 5 = 7(y + 5) D. x = 7y - 5

व्याख्या: 5 वर्ष पूर्व दोनों की आयु x−5 और y−5 होगी, अतः (x−5) = 7(y−5)।

Q35. रैखिक समीकरण युग्म में 'a₁/a₂ ≠ b₁/b₂' शर्त किसकी है?

A. अविरोधी (अद्वितीय हल) B. विरोधी (कोई हल नहीं) C. आश्रित (अनंत हल) D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: यह अविरोधी (Consistent) अर्थात अद्वितीय हल की शर्त है।

Q36. 0.2x + 0.3y = 1.3 समीकरण को 10 से गुणा करने पर क्या प्राप्त होगा?

A. 2x + 3y = 13 B. 20x + 30y = 130 C. 2x + 3y = 1.3 D. x + y = 13

व्याख्या: प्रत्येक पद को 10 से गुणा करने पर दशमलव समाप्त हो जाता है: 2x + 3y = 13।

Q37. x + y = 14 और x - y = 4 को हल करने पर y का मान क्या होगा?

A. 9 B. 5 C. 4 D. 10

व्याख्या: x = 9 रखने पर: 9 + y = 14 ⇒ y = 5।

Q38. यदि दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म के आलेख प्रतिच्छेदी रेखाएं हों, तो हलों की संख्या है:

A. सिर्फ एक B. कोई नहीं C. अनगिनत D. दो

व्याख्या: प्रतिच्छेदी रेखाओं का केवल 1 उभयनिष्ठ हल होता है।

Q39. k के किस मान के लिए समीकरण निकाय x + 2y = 1 और 5x + ky = 7 का कोई हल नहीं होगा?

A. 10 B. 2 C. 5 D. 1

व्याख्या: 1/5 = 2/k ⇒ k = 10।

Q40. समीकरण 3x + y = 10 में यदि y = 4 हो, तो x का मान क्या होगा?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

व्याख्या: 3x + 4 = 10 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2।

Q41. विरोधी समीकरण युग्म के कितने हल होते हैं?

A. एक B. अनगिनत C. शून्य (कोई नहीं) D. दो

व्याख्या: विरोधी युग्म में रेखाएँ समांतर होती हैं, अतः कोई हल नहीं होता।

Q42. x - y = 0 का आलेख कैसा होगा?

A. x-अक्ष के समांतर B. y-अक्ष के समांतर C. मूल बिंदु से जाती हुई D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: x = 0 रखने पर y = 0 प्राप्त होता है, अतः यह मूल बिंदु (0,0) से गुजरती है।

Q43. दो संख्याओं का योग 26 है और उनका अंतर 10 है। संख्याएं क्या हैं?

A. 18, 8 B. 20, 6 C. 16, 10 D. 13, 13

व्याख्या: 18 + 8 = 26 तथा 18 − 8 = 10।

Q44. यदि 2/x + 3/y = 13 और 5/x - 4/y = -2 हो, तो इसे रैखिक समीकरण बनाने के लिए क्या मानेंगे?

A. 1/x = u, 1/y = v B. x = u, y = v C. √x = u, √y = v D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: चर हर में होने पर 1/x = u और 1/y = v मानकर रैखिक रूप में बदलते हैं।

Q45. निम्नलिखित में कौन रैखिक समीकरण नहीं है?

A. x + y = 5 B. 2x - 3y = 7 C. x² + y = 3 D. √2x + 3y = 0

व्याख्या: x² + y = 3 में चर x की घात 2 है, अतः यह द्विघात है, रैखिक नहीं।

Q46. k के किस मान के लिए समीकरण kx - y = 2 और 6x - 2y = 3 का अद्वितीय हल होगा?

A. k = 3 B. k ≠ 3 C. k = 0 D. k ≠ 0

व्याख्या: k/6 ≠ -1/-2 ⇒ k/6 ≠ 1/2 ⇒ k ≠ 3।

Q47. यदि x + 2y − 5 = 0 और ax + 4y − 10 = 0 के अनगिनत हल हों, तो a का मान क्या होगा?

A. 2 B. 0 C. 1 D. 3

व्याख्या: 1/a = 2/4 = -5/-10 ⇒ 1/a = 1/2 ⇒ a = 2।

Q48. समीकरण y = 0 किसका समीकरण है?

A. x-अक्ष का B. y-अक्ष का C. मूल बिंदु का D. इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: x-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक सदैव शून्य (y = 0) होता है।

Q49. दो चरों x और y में रैखिक समीकरण का मानक रूप क्या है?

A. ax + by = c B. ax² + bx + c = 0 C. ax + by + c = 0 D. a + b = c

व्याख्या: मानक रूप ax + by + c = 0 है, जहाँ a, b, c अचर हैं और a तथा b दोनों शून्य नहीं हैं।

Q50. यदि 2x + 3y = 12 और 3x - 2y = 5 हो, तो y का मान क्या होगा?

A. 2 B. 3 C. 1 D. 0

व्याख्या: समीकरण हल करने पर x = 3 और y = 2 प्राप्त होता है।

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मानक रूप → ग्राफ → तीन स्थितियाँ → विलोपन → प्रतिस्थापन → वज्र-गुणन → शब्द-प्रश्न → अनुपात की शर्तें → k वाले प्रश्न → 50 MCQ अभ्यास।

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