कक्षा 10 गणित अध्याय 2: बहुपद | नोट्स, प्रश्न-उत्तर व MCQ टेस्ट | Bihar Board

📘 Class 10 Mathematics | Chapter 2

अध्याय 2 : बहुपद

Polynomials — Complete Self Study Notes, Step-by-Step Examples, Formula Revision & Practice

📖 सरल भाषा🧮 Step-by-Step🎯 Board Focus📱 Mobile Friendly📝 50 MCQ Test

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📖 भूमिका🔢 घात व प्रकार🎯 शून्यक 📈 ग्राफ🤝 संबंध🧩 बहुपद बनाना 🧮 द्विघात उदाहरण📐 त्रिघात📌 सारांश🎯 अभ्यास📝 MCQ Test

📖 शुरुआत — बहुपद क्यों जरूरी है?

मैं जब भी यह अध्याय शुरू करता हूँ, छात्रों से एक सवाल पूछता हूँ — "क्या आपने कभी ऐसा व्यंजक देखा है जिसमें x की घात 0, 1, 2, 3… जैसी पूर्ण संख्याएँ हों?" जवाब होता है — हाँ, जैसे 2x+3, x²−5। बस, यही बहुपद है।

बहुपद बीजगणित का महत्वपूर्ण भाग है। बहुपद में चर जैसे x, y तथा अचर संख्याएँ होती हैं और चर की घातें 0, 1, 2, 3… जैसी पूर्ण संख्याएँ होती हैं। इस अध्याय में बहुपद की घात, प्रकार, शून्यक, ग्राफ तथा शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध को समझेंगे।

इस अध्याय में सीखेंगे: बहुपद की पहचान → घात → रैखिक/द्विघात/त्रिघात → शून्यक → p(a)=0 की जाँच → ग्राफ का अर्थ → द्विघात में शून्यकों का योग और गुणनफल → दिए गए शून्यकों से बहुपद बनाना → परीक्षा आधारित प्रश्न।

महत्वपूर्ण: x की घात ऋणात्मक या भिन्न नहीं होनी चाहिए। इसलिए 1/(x−1), √x जैसे व्यंजक बहुपद नहीं हैं।

💡 मेरी सलाह: जब मैंने पहली बार यह अध्याय पढ़ाया था, तब मुझे एहसास हुआ कि छात्र शून्यक और गुणांक में सबसे ज्यादा कन्फ्यूज होते हैं। इसलिए मैंने यह नोट्स ऐसे बनाए हैं कि पहले घात और प्रकार साफ हो, फिर शून्यक, फिर ग्राफ और अंत में सूत्र। अगर आप सीधे सूत्र से शुरू करेंगे, तो मुश्किल लगेगा।

🔢 पहला कदम — बहुपद की घात और प्रकार कैसे पहचानें?

किसी बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात को उस बहुपद की घात (Degree) कहते हैं।

घात	नाम	सामान्य रूप	उदाहरण
0	अचर बहुपद	c	5, −7, √2
1	रैखिक	ax + b	2x + 3
2	द्विघात	ax² + bx + c	x² − 3x + 2
3	त्रिघात	ax³ + bx² + cx + d	x³ − 2x² + x + 1

चित्र: घात के अनुसार बहुपद के चार प्रकार

उदाहरण: बहुपद 5x³ − 4x² + x − √2 की घात ज्ञात करना

1

व्यंजक में चर x के सभी पदों की घातों की सूची बनाएं: 3, 2, 1।

2

इन घातों में सबसे बड़ा मान देखें: 3।

निष्कर्ष: बहुपद की घात = 3, अतः यह त्रिघात बहुपद है।

ध्यान दें: गुणांक √2, 1/2 आदि हो सकते हैं; समस्या तब होती है जब चर की घात ऋणात्मक, भिन्न या चर हर में हो।

⚠️ छात्र अक्सर यहाँ गलती करते हैं: √2 को बहुपद मानने में संकोच करते हैं। जबकि √2 एक अचर है, इसकी घात 0 है, इसलिए यह बहुपद है। लेकिन √x बहुपद नहीं है, क्योंकि इसमें घात 1/2 है।

🎯 दूसरा कदम — बहुपद के शून्यक क्या हैं?

'x' का वह मान जिसे बहुपद में रखने पर बहुपद का मान 0 हो जाए, उस बहुपद का शून्यक कहलाता है।

यदि p(a) = 0, तो a, p(x) का एक शून्यक है।

उदाहरण 1: p(x) = x − 3 का शून्यक निकालना

1

शून्यक निकालने के लिए बहुपद को 0 के बराबर रखें: p(x) = 0

2

समीकरण हल करें: x − 3 = 0 ⇒ x = 3

शून्यक = 3

उदाहरण 2: जाँचिए कि −1, x³ − 2x² − x + 2 का शून्यक है या नहीं।

1

दिए गए बहुपद p(x) = x³ − 2x² − x + 2 में x = −1 प्रतिस्थापित करें।

2

गणना: p(−1) = (−1)³ − 2(−1)² − (−1) + 2

3

सरल करें: = −1 − 2(1) + 1 + 2 = −1 − 2 + 1 + 2 = 0

चूँकि p(−1) = 0 है, अतः −1 इस बहुपद का एक वास्तविक शून्यक है।

Self-study trick: किसी दिए हुए मान के शून्यक होने की जाँच के लिए पूरा बहुपद हल करने की जरूरत नहीं—सिर्फ उस मान को x की जगह रखें। यदि परिणाम 0 आया, तो वह शून्यक है।

💡 मेरी गलती की कहानी: जब मैं खुद 10वीं में था, तो मैंने एक बार p(2)=5 देखकर सोच लिया कि 2 शून्यक है। लेकिन शून्यक होने के लिए p(2)=0 होना चाहिए। 5 आना मतलब 2 शून्यक नहीं है। आप यह गलती मत करना।

📈 तीसरा कदम — ग्राफ और शून्यक में क्या संबंध है?

बहुपद y=p(x) का ग्राफ x-अक्ष को जिन बिंदुओं पर काटता या छूता है, उन x-निर्देशांकों के मान बहुपद के वास्तविक शून्यक होते हैं।

1 बार
x-अक्ष को 1 बिंदु पर काटे/छुए → 1 वास्तविक शून्यक

2 बार
2 बिंदुओं पर काटे → 2 वास्तविक शून्यक

3 बार
3 बिंदुओं पर काटे → 3 वास्तविक शून्यक

नहीं काटे
x-अक्ष से कोई प्रतिच्छेद नहीं → कोई वास्तविक शून्यक नहीं

याद रखें: शून्यक देखने के लिए X-अक्ष देखना है, Y-अक्ष नहीं। द्विघात का ग्राफ परवलय होता है और वह अधिकतम 2 बिंदुओं पर x-अक्ष को काट/छू सकता है।

💡 मेरी सलाह: अगर ग्राफ X-अक्ष को नहीं काटता, तो इसका मतलब यह नहीं कि बहुपद गलत है। इसका मतलब है कि उस बहुपद के कोई वास्तविक शून्यक नहीं हैं। जैसे x²+1 का ग्राफ कभी X-अक्ष को नहीं काटता।

🤝 चौथा कदम — शून्यकों और गुणांकों में क्या संबंध है?

यह इस अध्याय का सबसे ज्यादा पूछा जाने वाला टॉपिक है। यदि द्विघात बहुपद

ax² + bx + c (a ≠ 0)

के शून्यक α और β हैं, तो:

शून्यकों का योग: α + β = −b/a

शून्यकों का गुणनफल: αβ = c/a

उदाहरण 1: 2x² + 5x − 12 के शून्यकों का योग निकालना

1

मानक रूप ax² + bx + c से तुलना करें: a = 2, b = 5, c = −12

2

योग का सूत्र लगाएँ: α + β = −b/a

3

मान रखें: α + β = −(5)/2 = −5/2

शून्यकों का योग = −5/2

उदाहरण 2: 5y² − 14y + 8 के शून्यकों का योग और गुणनफल

1

गुणांक पहचानें: a = 5, b = −14, c = 8

2

योग: α + β = −b/a = −(−14)/5 = 14/5

3

गुणनफल: αβ = c/a = 8/5

योग = 14/5, गुणनफल = 8/5

उदाहरण 3: x² − 5 के लिए संबंध की जाँच

1

मानक रूप में लिखें: 1x² + 0x − 5, अतः a = 1, b = 0, c = −5

2

योग: α + β = −b/a = −0/1 = 0

3

गुणनफल: αβ = c/a = −5/1 = −5

शून्यकों का योग = 0, गुणनफल = −5

⚠️ सबसे आम गलती: −b/a में minus sign भूल जाना। याद रखें: योग में हमेशा −b/a होता है, और गुणनफल में c/a (यहाँ minus नहीं)।

💡 ट्रिक: जब भी सूत्र भूलें, याद करें — "योग में विपरीत चिन्ह, गुणनफल में वही चिन्ह"। b के सामने minus लगाकर a से भाग दें, और c को a से भाग दें।

🧩 पाँचवां कदम — दिए गए शून्यकों से द्विघात बहुपद बनाना

बहुपद = x² − (α+β)x + αβ

यदि केवल शून्यकों का योग S और गुणनफल P दिया हो, तो:

x² − Sx + P

यदि किसी अन्य leading coefficient की आवश्यकता हो तो सामान्यतः गैर-शून्य स्थिर गुणक k से गुणा करके k[x²−Sx+P] भी लिया जा सकता है।

उदाहरण: यदि शून्यकों का योग 4 और गुणनफल 1 हो तो बहुपद बनाना

1

दिया है: योग (S) = 4, गुणनफल (P) = 1

2

सूत्र: p(x) = x² − Sx + P

3

मान रखने पर: p(x) = x² − 4x + 1

अपेक्षित द्विघात बहुपद: x² − 4x + 1

💡 ट्रिक: यदि शून्यक 2 और 3 हैं, तो S=5 और P=6, इसलिए बहुपद x²−5x+6। इसे गुणनखंड रूप में (x−2)(x−3) भी लिख सकते हैं।

🧮 6. द्विघात बहुपद के शून्यक निकालना (मध्य पद विभाजन)

जब बहुपद सरलता से गुणनखंडों में टूट जाए, तो शून्यक निकालने की सबसे आसान विधि factorisation है।

उदाहरण 1: x² − 2x − 8 के शून्यक ज्ञात करना

1

बहुपद को शून्य के बराबर रखें: x² − 2x − 8 = 0

2

मध्य पद −2x को दो भागों में तोड़ें जिनका योग −2 और गुणनफल −8 हो: (−4 और +2)

3

x² − 4x + 2x − 8 = 0

4

उभयनिष्ठ (common) लें: x(x − 4) + 2(x − 4) = 0

5

(x − 4)(x + 2) = 0

6

दोनों गुणनखंडों को 0 के बराबर रखें: x − 4 = 0 ⇒ x = 4 तथा x + 2 = 0 ⇒ x = −2

शून्यक = 4 और −2

उदाहरण 2: 4u² + 8u के शून्यक ज्ञात करना

1

समीकरण: 4u² + 8u = 0

2

सीधे उभयनिष्ठ (4u) बाहर निकालें: 4u(u + 2) = 0

3

4u = 0 ⇒ u = 0

4

u + 2 = 0 ⇒ u = −2

शून्यक = 0 और −2

उदाहरण 3: 2x² + 5x − 12 के शून्यक ज्ञात करना

1

2 × (−12) = −24। दो संख्याएँ जिनका योग 5 और गुणनफल −24 हो: 8 और −3

2

मध्य पद को लिखें: 2x² + 8x − 3x − 12 = 0

3

2x(x + 4) − 3(x + 4) = 0

4

(x + 4)(2x − 3) = 0

5

x + 4 = 0 ⇒ x = −4 तथा 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3/2

शून्यक = −4 और 3/2

📐 7. त्रिघात बहुपद के उपयोगी संबंध

त्रिघात बहुपद का सामान्य रूप:

ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

यदि इसके शून्यक α, β, γ हैं, तो:

α + β + γ = −b/a

αβ + βγ + γα = c/a

αβγ = −d/a

उदाहरण: x³ − 3x² + x + 1 में शून्यकों का योग निकालना

1

तुलना करें: a = 1, b = −3, c = 1, d = 1

2

सूत्र लगाएँ: α + β + γ = −b/a

3

गणना: = −(−3)/1 = 3

तीनों शून्यकों का योग = 3

ध्यान दें: त्रिघात बहुपद के शून्यक और गुणांकों का संबंध बोर्ड परीक्षा के 1-अंक और 2-अंक वाले प्रश्नों में अक्सर पूछा जाता है।

🧠 8. विद्यार्थियों की सामान्य गलतियाँ

• −b/a में minus sign भूल जाना।
• शून्यकों का योग और गुणनफल आपस में बदल देना।
• ग्राफ में Y-अक्ष को देखकर शून्यकों की संख्या बताना (हमेशा केवल X-अक्ष देखें)।
• शून्यक दिए हों तो पहले उनका योग और गुणनफल न निकालना।
• x²−5 में x वाला पद नहीं होने पर b=0 न मानना।
• गुणनखंड निकालते समय मध्य पद के चिन्हों में गलती करना।

📌 9. परीक्षा सारांश

• बहुपद में चर की घात 0,1,2,3… जैसी पूर्ण संख्या होती है।
• सबसे बड़ी घात = बहुपद की घात।
• रैखिक: घात 1; द्विघात: घात 2; त्रिघात: घात 3।
• p(a)=0 होने पर a, p(x) का शून्यक है।
• ग्राफ के x-अक्ष से मिलने वाले बिंदुओं की x-values वास्तविक शून्यक बताती हैं।
• ax²+bx+c के लिए α+β=−b/a और αβ=c/a।
• शून्यकों का योग S और गुणनफल P हो तो monic द्विघात बहुपद x²−Sx+P है।
• दिए गए शून्यकों α,β से p(x)=(x−α)(x−β) भी बनाया जा सकता है।
• त्रिघात ax³+bx²+cx+d के लिए α+β+γ=−b/a और αβγ=−d/a।
• परीक्षा में हर calculation को अलग चरण में लिखना step marking के लिए उपयोगी है।

🎯 10. अभ्यास प्रश्न — Step-by-Step समाधान

Self Study तरीका: पहले प्रश्न को कॉपी पर स्वयं हल करें। फिर प्रश्न पर क्लिक करके समाधान देखें।

I. अति लघु उत्तरीय प्रश्न — 20 प्रश्न

15x³−4x²+x−√2 की घात क्या है?▼

उत्तर: चर x की सबसे बड़ी घात 3 है। अतः बहुपद की घात = 3।

2रैखिक बहुपद की घात कितनी होती है?▼

उत्तर: 1 (जैसे: ax + b)।

3द्विघात बहुपद का सामान्य रूप लिखिए।▼

उत्तर: ax² + bx + c, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a ≠ 0।

4यदि p(3)=0 है, तो 3 क्या है?▼

उत्तर: 3, बहुपद p(x) का एक वास्तविक शून्यक है।

5ax²+bx+c के शून्यकों का योग क्या है?▼

उत्तर: α + β = −b/a (अर्थात −(x का गुणांक) / (x² का गुणांक))।

6ax²+bx+c के शून्यकों का गुणनफल क्या है?▼

उत्तर: αβ = c/a (अर्थात अचर पद / (x² का गुणांक))।

7x²−3 के शून्यक क्या हैं?▼

उत्तर: x² − 3 = 0 ⇒ x² = 3 ⇒ x = ±√3। अतः शून्यक √3 और −√3 हैं।

8x²−3x+2 के शून्यकों का योग क्या है?▼

उत्तर: a=1, b=−3। योग = −b/a = −(−3)/1 = 3।

9x²−3x+2 के शून्यकों का गुणनफल क्या है?▼

उत्तर: a=1, c=2। गुणनफल = c/a = 2/1 = 2।

10सबसे बड़ी घात 3 वाला बहुपद क्या कहलाता है?▼

उत्तर: त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial)।

11क्या 1/(x−1) बहुपद है?▼

उत्तर: नहीं, क्योंकि इसमें चर x हर में है (घात ऋणात्मक हो जाती है)।

12यदि ग्राफ x-अक्ष को 3 स्थानों पर काटे तो वास्तविक शून्यक कितने होंगे?▼

उत्तर: ठीक 3 वास्तविक शून्यक होंगे।

13x²−5 में b का मान क्या है?▼

उत्तर: 0 (क्योंकि x वाला पद 0x है)।

14यदि शून्यकों का योग 4 और गुणनफल 1 हो तो बहुपद क्या होगा?▼

उत्तर: x² − Sx + P = x² − 4x + 1।

15√3 और −√3 का योग क्या है?▼

उत्तर: √3 + (−√3) = 0।

16√3 और −√3 का गुणनफल क्या है?▼

उत्तर: (√3) × (−√3) = −3।

17द्विघात बहुपद के अधिकतम कितने वास्तविक शून्यक हो सकते हैं?▼

उत्तर: अधिकतम 2 वास्तविक शून्यक।

18यदि p(−2)=0 है, तो p(x) का एक शून्यक क्या है?▼

उत्तर: −2।

19x²+7x+10 के शून्यक क्या हैं?▼

उत्तर: x²+7x+10 = (x+5)(x+2) = 0 ⇒ शून्यक = −5 और −2।

20बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को नहीं काटता तो क्या निष्कर्ष होगा?▼

उत्तर: बहुपद का कोई वास्तविक शून्यक नहीं है।

II. लघु उत्तरीय प्रश्न — 10 प्रश्न (Step-by-Step)

1बहुपद 2x²+5x−12 के शून्यक ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: बहुपद को 0 के बराबर रखें: 2x² + 5x − 12 = 0
चरण 2: 2 × (−12) = −24। दो संख्याएँ जिनका गुणनफल −24 और योग 5 हो: 8 और −3।
चरण 3: 2x² + 8x − 3x − 12 = 0
चरण 4: 2x(x + 4) − 3(x + 4) = 0 ⇒ (x + 4)(2x − 3) = 0
चरण 5: x = −4 या x = 3/2।
अंतिम उत्तर: शून्यक = −4 और 3/2।

2बहुपद 5y²−14y+8 के शून्यकों का योग और गुणनफल ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: तुलना करने पर: a = 5, b = −14, c = 8
चरण 2: शून्यकों का योग (α + β) = −b/a = −(−14)/5 = 14/5
चरण 3: शून्यकों का गुणनफल (αβ) = c/a = 8/5
अंतिम उत्तर: योग = 14/5, गुणनफल = 8/5।

3शून्यकों का योग −3 और गुणनफल 2 हो तो द्विघात बहुपद बनाइए।▼

समाधान:
चरण 1: दिया है: S = −3, P = 2
चरण 2: सूत्र: p(x) = x² − Sx + P
चरण 3: p(x) = x² − (−3)x + 2 = x² + 3x + 2
अंतिम उत्तर: बहुपद = x² + 3x + 2।

4जाँचिए कि −1, x³−2x²−x+2 का शून्यक है या नहीं।▼

समाधान:
चरण 1: p(x) = x³ − 2x² − x + 2 में x = −1 रखें।
चरण 2: p(−1) = (−1)³ − 2(−1)² − (−1) + 2
चरण 3: = −1 − 2(1) + 1 + 2 = −3 + 3 = 0
अंतिम उत्तर: चूँकि शेषफल 0 है, अतः −1 शून्यक है।

5x²−2x−8 के शून्यक निकालकर शून्यकों और गुणांकों के संबंध की जाँच कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2) = 0 ⇒ शून्यक α = 4, β = −2।
चरण 2: योग की जाँच: α + β = 4 + (−2) = 2; सूत्र से: −b/a = −(−2)/1 = 2 (सत्य)
चरण 3: गुणनफल की जाँच: αβ = 4 × (−2) = −8; सूत्र से: c/a = −8/1 = −8 (सत्य)

6यदि α और β, 2x²+3x−6 के शून्यक हैं, तो α²+β² ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: a = 2, b = 3, c = −6 ⇒ α + β = −3/2, αβ = −6/2 = −3
चरण 2: सर्वसमिका: α² + β² = (α + β)² − 2αβ
चरण 3: = (−3/2)² − 2(−3) = 9/4 + 6 = 9/4 + 24/4 = 33/4
अंतिम उत्तर: 33/4।

7यदि (x−1), x²+x+k का गुणनखंड है तो k ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: गुणनखंड प्रमेय से, यदि (x − 1) गुणनखंड है, तो x = 1 पर बहुपद शून्य होगा।
चरण 2: (1)² + (1) + k = 0 ⇒ 2 + k = 0 ⇒ k = −2
अंतिम उत्तर: k = −2।

8बहुपद x²−5 के शून्यकों का योग और गुणनफल बताइए।▼

समाधान:
चरण 1: मानक रूप: 1x² + 0x − 5, जहाँ a = 1, b = 0, c = −5
चरण 2: योग = −b/a = −0/1 = 0
चरण 3: गुणनफल = c/a = −5/1 = −5।

9यदि शून्यक 5 और −3 हैं तो बहुपद बनाइए।▼

समाधान:
चरण 1: शून्यक α = 5, β = −3
चरण 2: योग (S) = 5 + (−3) = 2; गुणनफल (P) = 5 × (−3) = −15
चरण 3: बहुपद: x² − Sx + P = x² − 2x − 15।

10त्रिघात ax³+bx²+cx+d के शून्यकों के योग और गुणनफल लिखिए।▼

उत्तर:
1. शून्यकों का योग: α + β + γ = −b/a
2. दो-दो शून्यकों के गुणनफलों का योग: αβ + βγ + γα = c/a
3. तीनों शून्यकों का गुणनफल: αβγ = −d/a।

III. दीर्घ उत्तरीय प्रश्न — 5 प्रश्न (Step-by-Step)

1x²−2x−8 के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा शून्यकों और गुणांकों के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1 (शून्यक निकालना): x² − 2x − 8 = 0
⇒ x² − 4x + 2x − 8 = 0
⇒ x(x − 4) + 2(x − 4) = 0
⇒ (x − 4)(x + 2) = 0 ⇒ x = 4, x = −2
अतः शून्यक α = 4 तथा β = −2 हैं।

चरण 2 (संबंध की जाँच): a = 1, b = −2, c = −8
(i) शून्यकों का योग = α + β = 4 + (−2) = 2
सूत्र से: −b/a = −(−2)/1 = 2 (सत्य)
(ii) शून्यकों का गुणनफल = αβ = 4 × (−2) = −8
सूत्र से: c/a = −8/1 = −8 (सत्य)
अतः दोनों संबंध पूर्णतः सत्यापित होते हैं।

22x²+5x−12 के शून्यक ज्ञात कीजिए और सूत्रों द्वारा योग तथा गुणनफल की जाँच कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: 2x² + 5x − 12 = 0
⇒ 2x² + 8x − 3x − 12 = 0
⇒ 2x(x + 4) − 3(x + 4) = 0
⇒ (x + 4)(2x − 3) = 0 ⇒ x = −4 या x = 3/2
अतः शून्यक α = −4 तथा β = 3/2 हैं।

चरण 2 (जाँच): a = 2, b = 5, c = −12
(i) α + β = −4 + 3/2 = (−8 + 3)/2 = −5/2
सूत्र से: −b/a = −5/2 (सत्यापित)
(ii) αβ = (−4) × (3/2) = −6
सूत्र से: c/a = −12/2 = −6 (सत्यापित)।

3यदि α और β, 2x²+3x−6 के शून्यक हैं, तो α²+β² ज्ञात कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: दिया गया बहुपद 2x² + 3x − 6 है, जहाँ a = 2, b = 3, c = −6।
चरण 2: शून्यकों का योग: α + β = −b/a = −3/2
चरण 3: शून्यकों का गुणनफल: αβ = c/a = −6/2 = −3
चरण 4: हम जानते हैं कि (α + β)² = α² + β² + 2αβ
⇒ α² + β² = (α + β)² − 2αβ
चरण 5: मान रखने पर: α² + β² = (−3/2)² − 2(−3)
= 9/4 + 6 = (9 + 24)/4 = 33/4
अंतिम उत्तर: 33/4।

4शून्यकों का योग 4 तथा गुणनफल 1 वाले द्विघात बहुपद का निर्माण कीजिए और उत्तर की जाँच कीजिए।▼

समाधान:
चरण 1: दिया है: S = α + β = 4, P = αβ = 1
चरण 2: द्विघात बहुपद का सूत्र: p(x) = k [x² − Sx + P]
k = 1 लेने पर: p(x) = x² − 4x + 1
चरण 3 (उत्तर की जाँच): p(x) = x² − 4x + 1 में a = 1, b = −4, c = 1
योग = −b/a = −(−4)/1 = 4 (सही)
गुणनफल = c/a = 1/1 = 1 (सही)।
अतः बहुपद x² − 4x + 1 सही है।

5त्रिघात बहुपद ax³+bx²+cx+d के शून्यकों α, β, γ के तीनों महत्वपूर्ण संबंध लिखिए और समझाइए।▼

समाधान:
त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d (जहाँ a ≠ 0) के अधिकतम 3 वास्तविक शून्यक α, β और γ होते हैं:
1. शून्यकों का योग: α + β + γ = −(x² का गुणांक) / (x³ का गुणांक) = −b/a
2. दो-दो शून्यकों के गुणनफलों का योग: αβ + βγ + γα = (x का गुणांक) / (x³ का गुणांक) = c/a
3. तीनों शून्यकों का गुणनफल: αβγ = −(अचर पद) / (x³ का गुणांक) = −d/a
ये तीनों संबंध त्रिघात समीकरण के मूलों और गुणांकों का सटीक बीजगणितीय सत्यापन प्रस्तुत करते हैं।

📝 50 MCQ Online Test

समय: 50 मिनट   |   प्रश्न: 50   |   तुरंत सही/गलत चिन्ह
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Q1. बहुपद 5x³−4x²+x−√2 की घात क्या है?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

व्याख्या: सबसे बड़ी चर-घात 3 है।

Q2. निम्न में से कौन अचर बहुपद है?

A. 2x+1 B. x²−3 C. √2 D. x³+1

व्याख्या: √2 में चर नहीं है, इसलिए इसकी घात 0 है (अचर बहुपद)।

Q3. रैखिक बहुपद की घात होती है—

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

व्याख्या: रैखिक बहुपद (ax+b) की घात हमेशा 1 होती है।

Q4. द्विघात बहुपद का सामान्य रूप है—

A. ax+b B. ax²+bx+c C. ax³+bx²+cx+d D. a/x+b

व्याख्या: द्विघात बहुपद का मानक रूप ax²+bx+c है, जहाँ a≠0।

Q5. त्रिघात बहुपद की घात होती है—

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

व्याख्या: सबसे बड़ी घात 3 होने पर वह त्रिघात बहुपद होता है।

Q6. निम्न में से कौन बहुपद नहीं है?

A. x²+1 B. 3x−2 C. 1/(x−1) D. 5

व्याख्या: चर हर में होने के कारण 1/(x−1) बहुपद नहीं है।

Q7. बहुपद 7x⁴−3x²+5 की घात क्या है?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

व्याख्या: सबसे बड़ी चर-घात 4 है।

Q8. यदि p(a)=0 है, तो a क्या है?

A. गुणांक B. घात C. शून्यक D. अचर

व्याख्या: p(a)=0 होने पर a, p(x) का शून्यक होता है।

Q9. p(x)=x−3 का शून्यक है—

A. −3 B. 0 C. 3 D. 1

व्याख्या: x−3=0 ⇒ x=3।

Q10. p(x)=2x+5 का शून्यक है—

A. 5/2 B. −5/2 C. 2/5 D. −2/5

व्याख्या: 2x+5=0 ⇒ x=−5/2।

Q11. x³−2x²−x+2 में x=−1 रखने पर मान है—

A. −2 B. −1 C. 0 D. 2

व्याख्या: p(−1)=−1−2+1+2=0।

Q12. किस अक्ष से मिलने वाले x-निर्देशांक वास्तविक शून्यक बताते हैं?

A. Y-अक्ष B. X-अक्ष C. दोनों D. किसी से नहीं

व्याख्या: ग्राफ के X-अक्ष के प्रतिच्छेद बिंदु ही वास्तविक शून्यक दर्शाते हैं।

Q13. यदि p(2)=5 है, तो 2 के बारे में सही कथन क्या है?

A. 2, p(x) का शून्यक है B. 2, p(x) का शून्यक नहीं है C. p(x) अचर बहुपद है D. p(x) की घात 0 है

व्याख्या: शून्यक होने के लिए p(2)=0 होना चाहिए, 5 नहीं।

Q14. p(x)=3x+6 का शून्यक क्या है?

A. −3 B. −2 C. 2 D. 3

व्याख्या: 3x+6=0 ⇒ 3x=−6 ⇒ x=−2।

Q15. द्विघात बहुपद के अधिकतम वास्तविक शून्यक हो सकते हैं—

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

व्याख्या: घात 2 वाले बहुपद के अधिकतम 2 वास्तविक शून्यक हो सकते हैं।

Q16. ax²+bx+c के शून्यकों का योग है—

A. b/a B. −b/a C. c/a D. −c/a

व्याख्या: शून्यकों का योग α+β=−b/a।

Q17. ax²+bx+c के शून्यकों का गुणनफल है—

A. b/a B. −b/a C. c/a D. −c/a

व्याख्या: शून्यकों का गुणनफल αβ=c/a।

Q18. 3x²−7x+2 के शून्यकों का गुणनफल है—

A. 2/3 B. −2/3 C. 7/3 D. −7/3

व्याख्या: αβ = c/a = 2/3।

Q19. x²−9x+20 के शून्यक हैं—

A. 2 और 10 B. 4 और 5 C. −4 और −5 D. 1 और 20

व्याख्या: x²−9x+20 = (x−4)(x−5) = 0 ⇒ x = 4, 5।

Q20. 4x²−9x+2 के शून्यकों का योग है—

A. −9/4 B. 9/4 C. 1/2 D. 2/9

व्याख्या: योग = −b/a = −(−9)/4 = 9/4।

Q21. x²−5 में b का मान है—

A. −5 B. 0 C. 1 D. 5

व्याख्या: x वाला पद अनुपस्थित है, अतः 0x में b = 0।

Q22. यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक 2 और 7 हैं, तो उनका योग है—

A. 5 B. 9 C. 14 D. −9

व्याख्या: 2 + 7 = 9।

Q23. यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक −1 और 4 हैं, तो उनका गुणनफल है—

A. −4 B. −3 C. 3 D. 4

व्याख्या: (−1) × 4 = −4।

Q24. x²−3 के शून्यक हैं—

A. 3 और −3 B. √3 और −√3 C. 3 और √3 D. 0 और 3

व्याख्या: x²=3 ⇒ x=±√3।

Q25. शून्यकों का योग S और गुणनफल P हो तो monic द्विघात बहुपद है—

A. x²+Sx+P B. x²−Sx+P C. x²+Sx−P D. x²−P x+S

व्याख्या: मानक सूत्र x² − Sx + P है।

Q26. शून्यकों का योग 4 और गुणनफल 1 हो तो बहुपद है—

A. x²+4x+1 B. x²−4x+1 C. x²+4x−1 D. x²−x+4

व्याख्या: x²−Sx+P = x²−4x+1।

Q27. शून्यक 1/2 और 3 हों, तो उनका गुणनफल है—

A. 3/2 B. 1/6 C. 5/2 D. 6

व्याख्या: (1/2) × 3 = 3/2।

Q28. शून्यक 0 और −4 वाले monic द्विघात बहुपद का रूप है—

A. x²−4x B. x²+4x C. x²−4 D. x²+4

व्याख्या: x(x − (−4)) = x(x+4) = x²+4x।

Q29. शून्यक 5 और −3 वाले monic बहुपद का रूप है—

A. x²−2x−15 B. x²+2x−15 C. x²+2x+15 D. x²−8x−15

व्याख्या: S = 5+(−3)=2, P = −15 ⇒ x²−2x−15।

Q30. p(x)=x²+1 के कितने वास्तविक शून्यक हैं?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

व्याख्या: x²=−1 का कोई वास्तविक मान नहीं होता, अतः वास्तविक शून्यक 0 हैं।

Q31. यदि α+β=6 और αβ=5 है, तो α²+β² कितना होगा?

A. 26 B. 31 C. 36 D. 41

व्याख्या: α²+β² = (α+β)² − 2αβ = 6² − 2(5) = 36 − 10 = 26।

Q32. x²−2x−8 के शून्यक हैं—

A. 4 और 2 B. 4 और −2 C. −4 और 2 D. −4 और −2

व्याख्या: (x−4)(x+2)=0 ⇒ x=4, −2।

Q33. 4u²+8u के शून्यक हैं—

A. 0 और 2 B. 0 और −2 C. 4 और −8 D. −4 और 8

व्याख्या: 4u(u+2)=0 ⇒ u=0, −2।

Q34. 2x²+5x−12 के शून्यक हैं—

A. 4 और −2 B. −4 और 3/2 C. 4 और −3/2 D. −4 और −3/2

व्याख्या: (x+4)(2x−3)=0 ⇒ x=−4, 3/2।

Q35. यदि (x−1), x²+x+k का गुणनखंड है, तो k है—

A. −2 B. −1 C. 1 D. 2

व्याख्या: 1+1+k=0 ⇒ k=−2।

Q36. 3x²−5x+2 के शून्यकों का योग है—

A. −5/3 B. 5/3 C. 2/3 D. −2/3

व्याख्या: योग = −b/a = −(−5)/3 = 5/3।

Q37. यदि x²−6x+8 के शून्यक α और β हैं, तो α²+β² है—

A. 12 B. 20 C. 28 D. 36

व्याख्या: α+β=6, αβ=8 ⇒ α²+β² = 6² − 2(8) = 36 − 16 = 20।

Q38. यदि α+β=−3/2 और αβ=−3, तो α²+β² है—

A. 9/4 B. 21/4 C. 33/4 D. 39/4

व्याख्या: (−3/2)² − 2(−3) = 9/4 + 6 = 33/4।

Q39. x³−6x²+11x−6 के शून्यकों का योग है—

A. −6 B. 6 C. 11 D. −11

व्याख्या: α+β+γ = −b/a = −(−6)/1 = 6।

Q40. x³−6x²+11x−6 के शून्यकों α,β,γ के युग्म-गुणनों का योग है—

A. −6 B. 6 C. 11 D. −11

व्याख्या: αβ+βγ+γα = c/a = 11/1 = 11।

Q41. x³−6x²+11x−6 के तीनों शून्यकों का गुणनफल है—

A. −6 B. 6 C. 11 D. −11

व्याख्या: αβγ = −d/a = −(−6)/1 = 6।

Q42. x³−3x²+x+1 के शून्यकों का योग है—

A. −3 B. 1 C. 3 D. −1

व्याख्या: α+β+γ = −b/a = −(−3)/1 = 3।

Q43. यदि द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग 0 और गुणनफल −5 है, तो monic बहुपद है—

A. x²+5 B. x²−5 C. x²−5x D. x²+5x

व्याख्या: x² − 0x + (−5) = x² − 5।

Q44. यदि p(−2)=0 है, तो −2 क्या है?

A. गुणांक B. शून्यक C. घात D. अचर

व्याख्या: p(−2)=0 होने से −2 बहुपद का एक शून्यक है।

Q45. बहुपद में चर की घातें कैसी होनी चाहिए?

A. ऋणात्मक पूर्णांक B. भिन्न C. 0,1,2,3… जैसी पूर्ण संख्याएँ D. केवल 1

व्याख्या: चर की घात हमेशा अऋणात्मक पूर्णांक (पूर्ण संख्या) होनी चाहिए।

Q46. द्विघात बहुपद ax²+bx+c में a के लिए आवश्यक है—

A. a=0 B. a≠0 C. a=1 ही D. a<0

व्याख्या: यदि a=0 हो गया, तो x² समाप्त हो जाएगा और यह द्विघात नहीं रहेगा।

Q47. x²+7x+10 के शून्यक हैं—

A. 5 और 2 B. −5 और −2 C. 5 और −2 D. −5 और 2

व्याख्या: (x+5)(x+2)=0 ⇒ x = −5, −2।

Q48. यदि शून्यकों का योग −3 और गुणनफल 2 है, तो monic बहुपद है—

A. x²−3x+2 B. x²+3x+2 C. x²−3x−2 D. x²+3x−2

व्याख्या: x² − (−3)x + 2 = x² + 3x + 2।

Q49. यदि α=2 और β=−5 हैं, तो x²−(α+β)x+αβ है—

A. x²−3x−10 B. x²+3x−10 C. x²+7x−10 D. x²−7x+10

व्याख्या: α+β = −3 तथा αβ = −10 ⇒ x² − (−3)x + (−10) = x² + 3x − 10।

Q50. यदि ग्राफ X-अक्ष को एक ही बिंदु पर छूता है, तो वास्तविक शून्यकों की संख्या है—

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

व्याख्या: केवल एक बिंदु पर स्पर्श करने का अर्थ है कि ठीक 1 संपाती (coincident) वास्तविक शून्यक है।

🔄 एक नजर में पूरा अध्याय

घात पहचानें → बहुपद का प्रकार जानें → p(a)=0 से शून्यक जाँचें → ग्राफ में X-अक्ष देखें → द्विघात में α+β=−b/a और αβ=c/a लगाएँ → दिए हुए शून्यकों से x²−(α+β)x+αβ बनाएं → परीक्षा में गणना को चरणों (Steps) में लिखें।

Self Study मंत्र: हर formula को केवल याद करने के बजाय कम-से-कम एक numerical उदाहरण पर लगाएँ। विशेष रूप से −b/a में minus sign और शून्यकों के गुणनफल c/a पर ध्यान दें।

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