कक्षा 10 गणित अध्याय 14: सांख्यिकी | नोट्स, प्रश्न-उत्तर व MCQ टेस्ट | Bihar Board

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📚 अध्याय 14 : सांख्यिकी

Class 10 Maths | Statistics | Notes, प्रश्नोत्तरी & 50 MCQ Test

📘 Bihar Board / Class 10📝 Notes + Q&A🎯 50 MCQ Test

शुरुआत मूल बातें माध्य कल्पित माध्य पग-विचलन बहुलक माध्यिका संचयी बारंबारता हल उदाहरण परीक्षा सारांश प्रश्नोत्तरी 📝 50 MCQ टेस्ट

📖 अध्याय 14 : सांख्यिकी — अध्ययन सामग्री

शुरुआत — सांख्यिकी क्या है और क्यों जरूरी है?

मैं जब भी यह अध्याय शुरू करता हूँ, छात्रों से एक सवाल पूछता हूँ—आपकी कक्षा में सबसे अधिक अंक किसके आए? इसका उत्तर देने के लिए सभी विद्यार्थियों के अंक देखने, उन्हें व्यवस्थित करने और फिर तुलना करने की जरूरत पड़ती है। आँकड़ों को इसी प्रकार व्यवस्थित करके उनसे निष्कर्ष निकालना सांख्यिकी कहलाता है।

सांख्यिकी (Statistics) गणित की वह शाखा है जिसमें आँकड़ों का संग्रह, वर्गीकरण, सारणी या ग्राफ के रूप में प्रस्तुतीकरण, विश्लेषण और उनसे निष्कर्ष निकालना सीखा जाता है। इस अध्याय में हम वर्गीकृत आँकड़ों के तीन प्रमुख मापक—माध्य, माध्यिका और बहुलक—ज्ञात करना सीखेंगे।

माध्य (Mean)

सभी मानों का योग करके कुल मानों की संख्या से भाग देने पर माध्य मिलता है। इसे सामान्य औसत भी कहते हैं।

माध्यिका (Median)

आँकड़ों को क्रम में रखने पर बीच में आने वाला मान माध्यिका कहलाता है। वर्गीकृत आँकड़ों में इसे सूत्र से ज्ञात करते हैं।

बहुलक (Mode)

वह मान या वर्ग जिसकी बारंबारता सबसे अधिक हो, बहुलक या बहुलक वर्ग कहलाता है।

बारंबारता (Frequency)

किसी मान या वर्ग में आने वाले प्रेक्षणों की संख्या उसकी बारंबारता है।

याद रखने की सरल बात: माध्य = औसत, माध्यिका = बीच का मान, बहुलक = सबसे अधिक बार आने वाला मान/सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग।

सममित वितरण में माध्य, माध्यिका और बहुलक समान हो सकते हैं।

पहला कदम — वर्ग-अंतराल, वर्ग-चिह्न और बारंबारता

जब आँकड़ों की संख्या अधिक होती है, तो उन्हें छोटे-छोटे वर्ग-अंतरालों में बाँटकर बारंबारता सारणी बनाई जाती है। जैसे 0–10, 10–20 और 20–30। प्रत्येक वर्ग में कितने प्रेक्षण आते हैं, वही उसकी बारंबारता है।

चित्र 1: वर्ग-अंतराल की सीमाएँ

चित्र 2: वर्ग-चिह्न वर्ग का मध्य बिंदु है।

वर्ग-चिह्न (xᵢ) = (निचली सीमा + ऊपरी सीमा) ÷ 2

कुल बारंबारता: N = Σfᵢ

हल उदाहरण 1

प्रश्न: वर्ग 20–30 और 30–40 के वर्ग-चिह्न ज्ञात कीजिए।

हल (कदम-दर-कदम):

1. वर्ग-चिह्न का अर्थ है वर्ग-अंतराल का मध्य बिंदु।
2. सूत्र लिखें: वर्ग-चिह्न = (निचली सीमा + ऊपरी सीमा) ÷ 2।
3. वर्ग 20–30 के लिए: (20 + 30) ÷ 2 = 50 ÷ 2 = 25।
4. वर्ग 30–40 के लिए: (30 + 40) ÷ 2 = 70 ÷ 2 = 35।

निष्कर्ष: दोनों वर्ग-चिह्न क्रमशः 25 और 35 हैं।

समावेशी वर्गों को सतत बनाना

यदि वर्ग 10–19, 20–29, 30–39 दिए हों, तो अंतर 20 − 19 = 1 है और उसका आधा 0.5 होगा। इसलिए वर्गों को 9.5–19.5, 19.5–29.5, 29.5–39.5 लिखा जाता है। 10–20, 20–30 जैसे सतत वर्गों में यह परिवर्तन नहीं करना चाहिए।

सावधानी: माध्य निकालते समय वर्ग-चिह्न का सही होना जरूरी है। माध्यिका और बहुलक में संबंधित वर्ग की निचली सीमा तथा वर्ग-माप का ध्यान रखें।

दूसरा कदम — माध्य की प्रत्यक्ष विधि (Direct Method)

प्रत्यक्ष विधि में प्रत्येक वर्ग-चिह्न xᵢ को उसकी बारंबारता fᵢ से गुणा करते हैं। सभी fᵢxᵢ का योग निकालकर कुल बारंबारता से भाग देते हैं।

माध्य x̄ = Σfᵢxᵢ ÷ Σfᵢ

xᵢ = वर्ग-चिह्न, fᵢ = बारंबारता और Σ = योग।

चित्र 3: प्रत्यक्ष विधि में गणना का क्रम

हल उदाहरण 2 — सारणी सहित

निम्न आँकड़ों का माध्य ज्ञात करें:

वर्ग	fᵢ	xᵢ	fᵢxᵢ
0–10	2	5	10
10–20	3	15	45
20–30	5	25	125
30–40	4	35	140
योग	14	—	320

हल (कदम-दर-कदम):

1. सारणी में प्रत्येक वर्ग का मध्य बिंदु xᵢ दिया/निकाला गया है।
2. हर वर्ग के लिए fᵢ × xᵢ करें; इससे क्रमशः 10, 45, 125 और 140 प्राप्त होते हैं।
3. बारंबारताओं का योग लें: Σfᵢ = 2 + 3 + 5 + 4 = 14।
4. गुणनफलों का योग लें: Σfᵢxᵢ = 10 + 45 + 125 + 140 = 320।
5. सूत्र में रखें: x̄ = Σfᵢxᵢ ÷ Σfᵢ = 320 ÷ 14 = 22.857…

निष्कर्ष: माध्य लगभग 22.86 है।

तीसरा कदम — कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method)

जब वर्ग-चिह्न बड़े हों, तो गणना को सरल बनाने के लिए किसी सुविधाजनक वर्ग-चिह्न को कल्पित माध्य a मान लेते हैं। प्रत्येक वर्ग-चिह्न में से a घटाकर विचलन dᵢ निकालते हैं।

dᵢ = xᵢ − a

x̄ = a + (Σfᵢdᵢ ÷ Σfᵢ)

चित्र 4: कल्पित माध्य से विचलन का अर्थ

हल उदाहरण 3

दिया गया: कल्पित माध्य a = 25, Σfᵢdᵢ = 14 और कुल बारंबारता Σfᵢ = 7।

1. सूत्र लिखें: x̄ = a + (Σfᵢdᵢ ÷ Σfᵢ)।
2. दिए गए मान रखें: x̄ = 25 + (14 ÷ 7)।
3. पहले भाग करें: 14 ÷ 7 = 2।
4. अब जोड़ें: 25 + 2 = 27।

निष्कर्ष: माध्य 27 है।

यदि dᵢ का योग भारित रूप में ऋणात्मक आए, तो उसे घटाया जाएगा। सूत्र में चिह्न (+/−) को ज्यों का त्यों रखें।

चौथा कदम — पग-विचलन विधि (Step-Deviation Method)

जब वर्ग-अंतराल समान हों और वर्ग-चिह्न बड़े हों, तब विचलन को वर्ग-माप h से भाग देकर छोटे मान uᵢ प्राप्त किए जाते हैं। इससे गुणा और जोड़ आसान हो जाते हैं।

uᵢ = (xᵢ − a) ÷ h

x̄ = a + h × (Σfᵢuᵢ ÷ Σfᵢ)

चित्र 5: पग-विचलन विधि के चरण

सावधानी: इस विधि में h से गुणा करना अंतिम सूत्र का जरूरी भाग है। इसे छोड़ने पर उत्तर गलत हो सकता है।

पाँचवाँ कदम — बहुलक (Mode)

बहुलक वर्ग वह वर्ग है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है। वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक निकालने के लिए पहले सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग पहचानें, फिर उसमें और उसके आसपास के वर्गों की बारंबारता सूत्र में रखें।

बहुलक = l + [(f₁ − f₀) ÷ (2f₁ − f₀ − f₂)] × h

l = बहुलक वर्ग की निचली सीमा; h = वर्ग-माप; f₁ = बहुलक वर्ग की बारंबारता; f₀ = उससे पहले वाले वर्ग की बारंबारता; f₂ = उसके बाद वाले वर्ग की बारंबारता।

चित्र 6: सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग बहुलक वर्ग है।

याद रखने की विधि

सूत्र में f₁ सबसे अधिक बारंबारता है। f₀ उससे ठीक पहले और f₂ उससे ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता है। इन्हें आपस में बदलने से बचें।

छठा कदम — माध्यिका (Median)

माध्यिका ज्ञात करने के लिए पहले सभी बारंबारताओं का योग n निकालें। फिर n/2 ज्ञात करें और संचयी बारंबारता बनाएँ। जिस वर्ग की संचयी बारंबारता पहली बार n/2 के बराबर या उससे अधिक होती है, वह माध्यिका वर्ग होता है।

माध्यिका = l + [(n/2 − cf) ÷ f] × h

l = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा; n = कुल बारंबारता; cf = माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी बारंबारता; f = माध्यिका वर्ग की बारंबारता; h = वर्ग-माप।

चित्र 7: संचयी बारंबारता और n/2 की सहायता से माध्यिका वर्ग चुनें।

सबसे जरूरी बात: सूत्र में cf माध्यिका वर्ग की संचयी बारंबारता नहीं, बल्कि उससे ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता होती है।

हल उदाहरण 4

दिया गया: कुल बारंबारता n = 40।

1. माध्यिका की स्थिति निकालें: n/2 = 40/2 = 20।
2. संचयी बारंबारता (cf) को क्रम से देखें। जहाँ यह पहली बार 20 या 20 से अधिक होती है, उस वर्ग को माध्यिका वर्ग चुनें।
3. उस वर्ग की निचली सीमा l, बारंबारता f, उससे पहले की संचयी बारंबारता cf और वर्ग-माप h पहचानें।
4. सूत्र में मान रखें: माध्यिका = l + [(n/2 − cf) ÷ f] × h।
5. कोष्ठक के अंदर पहले घटाव और भाग करें, फिर h से गुणा करके l जोड़ें।

ध्यान दें: प्रश्न में वास्तविक संचयी बारंबारता सारणी नहीं दी गई है, इसलिए यहाँ माध्यिका का संख्यात्मक मान नहीं निकाला जा सकता।

सातवाँ कदम — संचयी बारंबारता और ओजाइव

संचयी बारंबारता (cf) लगातार बारंबारताओं को जोड़ते जाने से प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए बारंबारताएँ 3, 5, 7 हों, तो संचयी बारंबारताएँ 3, 8, 15 होंगी। ओजाइव संचयी बारंबारता का ग्राफ है।

संचयी बारंबारता = वर्तमान वर्ग तक की सभी बारंबारताओं का योग

चित्र 8: ओजाइव में संचयी बारंबारता सामान्यतः बढ़ती है।

हल उदाहरण — तीनों मापकों के बीच संबंध

माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध का सूत्र है:

3 × माध्यिका = बहुलक + 2 × माध्य

अथवा माध्यिका = (बहुलक + 2 × माध्य) ÷ 3

उदाहरण 5

दिया गया: माध्य = 20 और बहुलक = 26। माध्यिका ज्ञात करें।

1. सूत्र चुनें: माध्यिका = (बहुलक + 2 × माध्य) ÷ 3।
2. मान रखें: माध्यिका = (26 + 2 × 20) ÷ 3।
3. पहले गुणा करें: 2 × 20 = 40।
4. जोड़ें: 26 + 40 = 66।
5. भाग दें: 66 ÷ 3 = 22।

निष्कर्ष: माध्यिका 22 है।

यह संबंध अनुभवजन्य है। परीक्षा में सूत्र लिखें, दिए गए मान सही स्थान पर रखें और गणना के चरण दिखाएँ।

परीक्षा सारांश — अंतिम दोहराव

• वर्ग-चिह्न: (निचली सीमा + ऊपरी सीमा) ÷ 2
• प्रत्यक्ष विधि से माध्य: Σfᵢxᵢ ÷ Σfᵢ
• कल्पित माध्य विधि: a + Σfᵢdᵢ ÷ Σfᵢ
• पग-विचलन विधि: a + h × (Σfᵢuᵢ ÷ Σfᵢ)
• बहुलक: सबसे अधिक बारंबारता वाले वर्ग को पहचानें।
• माध्यिका: n/2 और संचयी बारंबारता से माध्यिका वर्ग चुनें।
• माध्यिका सूत्र में cf: माध्यिका वर्ग से ठीक पहले की संचयी बारंबारता लें।
• अनुभवजन्य संबंध: 3 × माध्यिका = बहुलक + 2 × माध्य

परीक्षा में ध्यान दें: सारणी के शीर्षक, सूत्र, मानों का प्रतिस्थापन और अंतिम उत्तर स्पष्ट लिखें। केवल उत्तर लिखने के बजाय गणना के चरण दिखाने से समाधान समझने योग्य बनता है।

📋 प्रश्नोत्तरी

अति लघु उत्तरीय प्रश्न

1केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन प्रमुख मापक कौन-कौन से हैं?➜

उत्तर: माध्य (Mean), माध्यिका (Median) और बहुलक (Mode)।
याद रखने का तरीका: माध्य = औसत; माध्यिका = क्रम में बीच का मान; बहुलक = सबसे अधिक बार आने वाला मान।

2बहुलक (Mode) किसे कहते हैं?➜

उत्तर: जो मान आँकड़ों में सबसे अधिक बार आता है, उसे बहुलक कहते हैं।
कैसे पहचानें? हर मान की आवृत्ति गिनें; जिसकी गिनती सबसे अधिक हो, वही बहुलक है।

3वर्ग चिह्न (Class Mark) का सूत्र क्या है?➜

उत्तर: वर्ग चिह्न = (निचली सीमा + ऊपरी सीमा) ÷ 2।
कदम: दोनों सीमाएँ जोड़ें, फिर योग को 2 से भाग दें।

4माध्यिका (Median) के लिए किस बारंबारता की आवश्यकता होती है?➜

उत्तर: संचयी बारंबारता (cf) की आवश्यकता होती है।
क्यों? n/2 की स्थिति ढूँढ़कर माध्यिका वर्ग पहचानने के लिए बारंबारताओं को क्रमशः जोड़ते हैं।

5माध्य, माध्यिका और बहुलक का अनुभवजन्य संबंध लिखिए।➜

उत्तर: 3 × माध्यिका = बहुलक + 2 × माध्य।

लघु उत्तरीय प्रश्न

6प्रथम 5 प्राकृत संख्याओं का माध्य (Mean) ज्ञात कीजिए।➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. प्रथम 5 प्राकृत संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 5

2. माध्य का सूत्र = (सभी संख्याओं का योग) / (कुल संख्याएँ)

3. योग = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
कुल संख्याएँ = 5

4. माध्य = 15 / 5
माध्य = 3

निष्कर्ष:
अतः माध्य 3 है。

7आँकड़ों 2, 3, 4, 5, 2, 6, 2, 8 का बहुलक (Mode) क्या होगा?➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. बहुलक वह संख्या होती है जो आँकड़ों में सबसे ज्यादा बार आती है。

2. यहाँ देखिए:
2 आया है: 3 बार (सबसे ज्यादा)
3 आया है: 1 बार
4 आया है: 1 बार

3. चूँकि 2 सबसे अधिक बार आया है, इसलिए बहुलक = 2 है。

निष्कर्ष:
अतः बहुलक 2 है。

8यदि 6, 8, 9, x, 13 का माध्य 10 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. माध्य = (सभी का जोड़) / (कुल संख्या)
10 = (6 + 8 + 9 + x + 13) / 5

2. जोड़ने पर:
10 = (36 + x) / 5

3. तिरछा गुणा (Cross Multiply) करें:
10 × 5 = 36 + x
50 = 36 + x

4. x = 50 - 36
x = 14

निष्कर्ष:
अतः x का मान 14 है。

9वर्ग अंतराल 10-25 का वर्ग चिह्न (Class Mark) ज्ञात कीजिए।➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. वर्ग चिह्न निकालने का तरीका होता है दोनों सीमाओं को जोड़कर आधा कर देना。

2. सूत्र: (निचली सीमा + ऊपरी सीमा) / 2

3. = (10 + 25) / 2
= 35 / 2
= 17.5

निष्कर्ष:
अतः वर्ग चिह्न 17.5 है。

10आँकड़ों 5, 3, 12, 7, 9, 11, 15 की माध्यिका (Median) ज्ञात कीजिए।➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. माध्यिका निकालने के लिए सबसे पहले संख्याओं को बढ़ते क्रम (Ascending Order) में सजाना होता है。

2. क्रम: 3, 5, 7, 9, 11, 12, 15

3. कुल संख्याएँ (n) = 7 (विषम संख्या है)
बीच वाली संख्या ही माध्यिका होगी。

4. इधर से 3 छोड़ो, उधर से 3 छोड़ो, बीच में बचा 9.

निष्कर्ष:
अतः माध्यिका = 9 है。

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

11एक वितरण का माध्य 10 है और माध्यिका 11 है, तो उसका बहुलक ज्ञात कीजिए। (अनुभवजन्य सूत्र से)➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच का रिश्ता (सूत्र) यह है:
बहुलक = 3 × माध्यिका - 2 × माध्य

2. मान रखने पर:
बहुलक = 3 × 11 - 2 × 10
बहुलक = 33 - 20
बहुलक = 13

निष्कर्ष:
अतः बहुलक 13 है。

12आँकड़ों 24, 15, 22, 13, 9, 10 तथा 30 का परिसर (Range) ज्ञात कीजिए।➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. परिसर का मतलब होता है सबसे बड़ी संख्या और सबसे छोटी संख्या का अंतर。

2. सबसे बड़ी संख्या = 30
सबसे छोटी संख्या = 9

3. परिसर = 30 - 9 = 21

निष्कर्ष:
अतः परिसर 21 है。

13निम्नलिखित बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए: चर (x): 2, 4, 6, 8 बारंबारता (f): 3, 2, 1, 4➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. माध्य निकालने के लिए हम f और x का गुणा (fx) करते हैं。
(i) (x = 2, f = 3) ⇒ fx = 2 × 3 = 6
(ii) (x = 4, f = 2) ⇒ fx = 4 × 2 = 8
(iii) (x = 6, f = 1) ⇒ fx = 6 × 1 = 6
(iv) (x = 8, f = 4) ⇒ fx = 8 × 4 = 32

2. अब कुल योग निकालें:
कुल बारंबारता (Σf) = 3 + 2 + 1 + 4 = 10
कुल गुणा (Σfx) = 6 + 8 + 6 + 32 = 52

3. माध्य का सूत्र = Σfx / Σf
माध्य = 52 / 10
माध्य = 5.2

निष्कर्ष:
अतः माध्य 5.2 है。

14निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक (Mode) ज्ञात कीजिए: वर्ग अंतराल: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50 बारंबारता: 5, 8, 15, 6, 4➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. बहुलक वर्ग की पहचान:
सबसे बड़ी बारंबारता 15 है, जो वर्ग 20-30 की है。
इसलिए बहुलक वर्ग = 20-30

2. यहाँ:
l (निचली सीमा) = 20
f1 (बहुलक वर्ग की बारंबारता) = 15
f0 (बहुलक वर्ग से ठीक पहले की बारंबारता) = 8
f2 (बहुलक वर्ग के ठीक बाद की बारंबारता) = 6
h (वर्ग का अंतर) = 10

3. सूत्र: बहुलक = l + [(f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2)] × h

4. मान रखने पर:
= 20 + [(15 - 8) / (2×15 - 8 - 6)] × 10
= 20 + [7 / (30 - 14)] × 10
= 20 + [7 / 16] × 10
= 20 + [70 / 16]
= 20 + 4.375
= 24.375

निष्कर्ष:
अतः बहुलक 24.375 है。

15यदि माध्यिका (Median) के लिए कुल बारंबारता N = 50 है और माध्यिका वर्ग 20-30 है जिसकी बारंबारता 10 और संचयी बारंबारता (cf) 15 है, तो माध्यिका ज्ञात कीजिए।➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. दिया गया है:
N = 50, तो N/2 = 25
माध्यिका वर्ग = 20-30
l (निचली सीमा) = 20
f (माध्यिका वर्ग की बारंबारता) = 10
cf (माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी बारंबारता) = 15
h (अंतर) = 10

2. माध्यिका का सूत्र = l + [(N/2 - cf) / f] × h

3. मान रखने पर:
= 20 + [(25 - 15) / 10] × 10
= 20 + [10 / 10] × 10

4. यहाँ 10 से 10 कट जाएगा。
= 20 + 10
= 30

निष्कर्ष:
अतः माध्यिका 30 है。

📝 50 MCQ Online Test

समय: 50 मिनट   |   प्रश्न: 50   |   तुरंत सही/गलत चिन्ह

प्रगति0 / 50

0 / 50

Q1. केंद्रीय प्रवृत्ति (Central Tendency) की माप इनमें से कौन सी नहीं है?

माध्य (Mean) माध्यिका (Median) बहुलक (Mode) मानक विचलन

व्याख्या: व्याख्या: कक्षा 10 में हम सिर्फ तीन मुख्य चीजें पढ़ते हैं—माध्य, माध्यिका और बहुलक। मानक विचलन बड़ी क्लास का टॉपिक है।

Q2. आँकड़ों 2, 3, 4, 5, 6 का माध्य (Mean) क्या होगा?

3 4 5 20

व्याख्या: व्याख्या: सबको जोड़ो और गिनती से भाग दो। (2+3+4+5+6) = 20। कुल 5 लोग हैं। 20 ÷ 5 = 4।

Q3. सबसे अधिक बार आने वाली संख्या को क्या कहते हैं?

माध्य माध्यिका बहुलक परिसर

व्याख्या: व्याख्या: जो 'बहुत' बार आए, उसे 'बहुलक' (Mode) कहते हैं। जैसे क्लास में जिसका नाम सबसे ज्यादा बार पुकारा जाए।

Q4. संचयी बारंबारता वक्र (Cumulative Frequency Curve) को और किस नाम से जाना जाता है?

आयत चित्र तोरण (Ogive) बारंबारता बहुभुज पाई चार्ट

व्याख्या: व्याख्या: इस टेढ़ी-मेढ़ी लाइन वाले ग्राफ को 'तोरण' कहते हैं। यह माध्यिका निकालने के काम आता है।

Q5. वर्ग अंतराल 10-20 का वर्ग चिह्न (Class Mark) क्या होगा?

10 20 15 30

व्याख्या: व्याख्या: दोनों को जोड़कर आधा कर दो। (10 + 20) = 30। 30 का आधा 15। यह बिल्कुल बीच की संख्या होती है।

Q6. 3, 4, 7, 2, 7, 6, 7, 9 का बहुलक (Mode) क्या है?

3 4 7 9

व्याख्या: व्याख्या: देखो कौन सा नंबर सबसे ज्यादा बार दिख रहा है? 7 यहाँ तीन बार आया है, बाकी सब कम हैं। तो 'हीरो' 7 है।

Q7. माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच क्या संबंध है? (Empirical Formula)

बहुलक = 3(माध्यिका) - 2(माध्य) बहुलक = 2(माध्यिका) - 3(माध्य) माध्य = बहुलक - माध्यिका इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: व्याख्या: यह फार्मूला रट लो: "3 मेडिसिन (Median) 2 मीन (Mean) लोगों को ठीक करती हैं"। यानी 3 माध्यिका - 2 माध्य।

Q8. प्रथम 5 प्राकृत संख्याओं का माध्य क्या है?

2 3 4 5

व्याख्या: व्याख्या: 1, 2, 3, 4, 5। इनको जोड़ो (15) और 5 से भाग दो। 15 ÷ 5 = 3।

Q9. आँकड़ों का 'परिसर' (Range) क्या होता है?

सबसे बड़ी संख्या + सबसे छोटी संख्या सबसे बड़ी संख्या - सबसे छोटी संख्या माध्य बहुलक

व्याख्या: व्याख्या: सबसे अमीर (बड़ी संख्या) और सबसे गरीब (छोटी संख्या) के बीच का अंतर ही परिसर है।

Q10. यदि आँकड़ों को बढ़ते क्रम (Ascending Order) में सजाया जाए, तो बीच वाली संख्या क्या कहलाती है?

माध्य माध्यिका बहुलक त्वरण

व्याख्या: व्याख्या: लाइन में सबको खड़ा करो, जो ठीक बीच में खड़ा हो, वही 'माध्यिका' (Median) है।

Q11. तोरण खींचने के लिए वर्ग अंतरालों को कैसा होना चाहिए?

समावेशिक (Inclusive) अपवर्जी (Exclusive) दोनों कोई नहीं

व्याख्या: व्याख्या: ग्राफ हमेशा लगातार (Continuous) होना चाहिए, जैसे 0-10, 10-20। इसे अपवर्जी कहते हैं। बीच में गैप नहीं होना चाहिए।

Q12. वर्ग अंतराल 20-30 की 'वर्ग माप' (Class Size) या लंबाई क्या है?

20 30 10 50

व्याख्या: व्याख्या: 30 में से 20 घटा दो। अंतर कितना है? 10 का। यही वर्ग माप है।

Q13. 1, 3, 0, 3, 1, 3 का बहुलक होगा:

0 1 2 3

व्याख्या: व्याख्या: 3 सबसे ज्यादा बार (तीन बार) आया है, इसलिए 3 बहुलक है।

Q14. प्रथम 3 सम (Even) संख्याओं का माध्य क्या है?

2 3 4 6

व्याख्या: व्याख्या: पहली 3 सम संख्याएं: 2, 4, 6। जोड़ = 12। माध्य = 12/3 = 4।

Q15. माध्यिका (Median) ज्ञात करने के लिए हमें संचयी बारंबारता (CF) की आवश्यकता होती है?

हाँ, हमेशा नहीं, कभी नहीं केवल माध्य के लिए केवल बहुलक के लिए

व्याख्या: व्याख्या: जब भी बड़े सवाल में माध्यिका निकालनी हो, तो CF (संचयी बारंबारता) वाली टेबल बनानी ही पड़ती है।

Q16. 12, 11, 10, 15, 12, 10, 12 का बहुलक है:

10 11 12 15

व्याख्या: व्याख्या: 12 तीन बार आया है। 10 दो बार। विजेता 12 है।

Q17. यदि 4, 5, 9, 11 और x का माध्य 7 है, तो x का मान क्या है?

4 6 7 8

व्याख्या: व्याख्या: कुल 5 संख्याएँ हैं। माध्य 7 है, तो कुल जोड़ 35 होना चाहिए (7×5)। अभी का जोड़ (4+5+9+11) = 29 है। 35 बनाने के लिए 6 और चाहिए।

Q18. "से कम" (Less than) और "से अधिक" (More than) प्रकार के तोरण एक-दूसरे को जिस बिंदु पर काटते हैं, उसका X-अक्ष क्या देता है?

माध्य माध्यिका बहुलक बारंबारता

व्याख्या: व्याख्या: जहाँ ये दोनों लाइनें क्रॉस करती हैं, उसके ठीक नीचे X-लाइन पर हमें 'माध्यिका' मिलती है।

Q19. माध्यिका का सूत्र क्या है? (जहाँ l = निम्न सीमा)

l + [(n/2 - cf)/f] × h l + [(f1 - f0)/(2f1 - f0 - f2)] × h Σfx / Σf कोई नहीं

व्याख्या: व्याख्या: माध्यिका में n/2 का उपयोग होता है। तो सही सूत्र पहला वाला (a) है। दूसरा वाला बहुलक का है।

Q20. 24, 15, 22, 13, 9, 10, 30 का परिसर (Range) क्या है?

20 21 22 24

व्याख्या: व्याख्या: सबसे बड़ा 30 है, सबसे छोटा 9 है। 30 - 9 = 21।

Q21. माध्य (Mean) का सूत्र Σfixi / Σfi में, Σ (सिग्मा) का क्या अर्थ है?

घटाव योग (Sum) गुणा भाग

व्याख्या: व्याख्या: यह अजीब सा निशान (Σ) ग्रीक अक्षर है, इसका मतलब होता है "सबको जोड़ दो"।

Q22. 5, 3, 7, 6, 4, 2, 1 की माध्यिका (Median) क्या है?

2 3 4 6

व्याख्या: व्याख्या: सबसे पहले क्रम में लगाओ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7। अब ठीक बीच में देखो कौन है? 4 है।

Q23. बहुलक (Mode) निकालने के सूत्र में 'f1' क्या होता है?

बहुलक वर्ग की बारंबारता बहुलक वर्ग से ठीक पहले की बारंबारता बहुलक वर्ग के ठीक बाद की बारंबारता कुल बारंबारता

व्याख्या: व्याख्या: '1' मतलब नंबर वन! जो सबसे मुख्य (बहुलक) वर्ग है, उसकी बारंबारता f1 होती है। (पहले वाली f0, बाद वाली f2)।

Q24. किसी वितरण का माध्य 10 और माध्यिका 11 है, तो बहुलक क्या होगा?

10 11 12 13

व्याख्या: व्याख्या: फार्मूला: बहुलक = 3(माध्यिका) - 2(माध्य)। 3(11) - 2(10) = 33 - 20 = 13।

Q25. प्रथम 5 अभाज्य (Prime) संख्याओं का माध्य क्या है?

5.6 5 4.5 6

व्याख्या: व्याख्या: अभाज्य: 2, 3, 5, 7, 11। जोड़ = 28। माध्य = 28/5 = 5.6। (1 अभाज्य नहीं होती)।

Q26. वर्ग अंतराल 0-10, 10-20, 20-30 में संख्या '20' किस अंतराल में शामिल होगी?

10-20 में 20-30 में दोनों में किसी में नहीं

व्याख्या: व्याख्या: सीमा पर खड़ा व्यक्ति हमेशा अगले घर में गिना जाता है। 20 खत्म होने वाले में नहीं, बल्कि 20 से शुरू होने वाले (20-30) में जाएगा।

Q27. यदि माध्य = 5 और बहुलक = 5 हो, तो माध्यिका क्या होगी?

5 10 0 2.5

व्याख्या: व्याख्या: यदि माध्य और बहुलक बराबर हैं, तो माध्यिका भी वही होगी। सब 5 होंगे। (सममित वितरण)।

Q28. पद विचलन विधि (Step Deviation Method) का उपयोग क्या ज्ञात करने के लिए किया जाता है?

माध्य माध्यिका बहुलक बारंबारता

व्याख्या: व्याख्या: जब गुणा-भाग बहुत बड़े हो जाते हैं, तो 'माध्य' (Mean) निकालने के लिए हम इस शॉर्टकट विधि का उपयोग करते हैं।

Q29. माध्यिका निकालने के लिए 'n' का क्या अर्थ है?

वर्गों की संख्या कुल बारंबारता (Σf) वर्ग अंतराल माध्य

व्याख्या: व्याख्या: n का मतलब है कुल कितने लोग हैं, यानी सारी बारंबारताओं का जोड़।

Q30. 1, 2, 3, ....., n का समांतर माध्य क्या है?

(n+1)/2 n/2 n(n+1)/2 n²

व्याख्या: व्याख्या: लगातार संख्याओं का औसत पहली और आखिरी संख्या के जोड़ का आधा होता है। (1+n)/2।

Q31. यदि प्रेक्षणों (Observations) की संख्या 'n' विषम (Odd) है, तो माध्यिका कौन सा पद होगी?

n/2 वाँ पद (n+1)/2 वाँ पद n वाँ पद इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: व्याख्या: जैसे 5 उंगलियां हैं, तो बीच वाली (5+1)/2 = 3री उंगली होगी। इसलिए (n+1)/2।

Q32. क्या आलेख (Graph) द्वारा माध्य (Mean) ज्ञात किया जा सकता है?

हाँ नहीं कभी-कभी केवल आयत चित्र से

व्याख्या: व्याख्या: नहीं। माध्यिका को 'तोरण' से और बहुलक को 'आयत चित्र' से निकाल सकते हैं, लेकिन माध्य को ग्राफ से नहीं निकाल सकते।

Q33. एक बारंबारता बंटन में, बहुलक वर्ग वह वर्ग है जिसकी बारंबारता...

सबसे कम हो सबसे अधिक हो मध्य में हो 0 हो

व्याख्या: व्याख्या: बहुलक (Mode) मतलब 'फैशन'। जो सबसे ज्यादा बार दिखे, वही बहुलक वर्ग है।

Q34. x, 3, 4, 5 का माध्य 4 है, तो x का मान क्या है?

0 4 60 10

व्याख्या: व्याख्या: संख्या 4 हैं, माध्य 4 है, तो कुल जोड़ 16 होना चाहिए। अभी 3+4+5=12 है। 16 बनाने के लिए x को 4 होना पड़ेगा।

Q35. बहुलक ज्ञात करने के लिए आयत चित्र (Histogram) कैसा होना चाहिए?

अलग-अलग समान चौड़ाई का नहीं सतत (Continuous) इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: व्याख्या: खंभे आपस में चिपके होने चाहिए (सतत), बीच में गैप नहीं होना चाहिए।

Q36. 100 छात्रों के प्राप्तांकों की माध्यिका 40 है। यदि हर छात्र के अंक में 5 जोड़ दिए जाएं, तो नई माध्यिका क्या होगी?

40 45 200 50

व्याख्या: व्याख्या: अगर सब लोग 5 कदम आगे बढ़ जाएं, तो बीच वाला आदमी भी 5 कदम आगे (40 + 5 = 45) पर होगा।

Q37. वर्ग चिह्न (xi) और कल्पित माध्य (a) का अंतर (xi - a) क्या कहलाता है?

विचलन (Deviation - di) पग विचलन (ui) बारंबारता माध्य

व्याख्या: व्याख्या: असली नंबर कल्पित माध्य से कितना भटका हुआ है, इसे 'विचलन' (di) कहते हैं।

Q38. निम्नलिखित में से कौन आलेखीय विधि से ज्ञात नहीं किया जा सकता?

माध्य माध्यिका बहुलक इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: व्याख्या: यह सवाल बार-बार आता है। याद रखें: 'माध्य' (Mean) का कोई चित्र नहीं होता।

Q39. माध्यिका वर्ग कैसे चुनते हैं?

जिसकी बारंबारता सबसे अधिक हो जिसमें N/2 से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता आती हो सबसे पहला वर्ग सबसे अंतिम वर्ग

व्याख्या: व्याख्या: हम N/2 निकालते हैं, और देखते हैं कि यह नंबर CF लाइन में सबसे पहले किसमें फिट होगा।

Q40. 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3 का बहुलक क्या है?

2 3 6 0

व्याख्या: व्याख्या: 2 तीन बार आया है। 3 दो बार आया है। विजेता 2 है।

Q41. कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method) का सूत्र क्या है?

a + (Σfidi / Σfi) a + (Σfiui / Σfi) × h Σfixi / Σfi a + l

व्याख्या: व्याख्या: कल्पित माध्य 'a' होता है और विचलन 'd' होता है। तो सूत्र में 'a' और 'd' दोनों होने चाहिए। (पहला विकल्प)।

Q42. यदि आँकड़ों के हर मान में 2 से गुणा कर दिया जाए, तो नया माध्य क्या होगा?

वही रहेगा 2 जुड़ जाएगा 2 गुना हो जाएगा आधा हो जाएगा

व्याख्या: व्याख्या: माध्य बहुत संवेदनशील होता है। जो तुम संख्याओं के साथ करोगे (गुणा), माध्य के साथ भी वही (दुगना) हो जाएगा।

Q43. वर्ग अंतराल 5-10, 10-15, 15-20... किस प्रकार के वर्ग अंतराल हैं?

अपवर्जी (Exclusive) समावेशिक (Inclusive) दोनों कोई नहीं

व्याख्या: व्याख्या: 10 यहाँ खत्म, 10 वहाँ शुरू। जब ओवरलैप हो, तो इसे 'अपवर्जी' कहते हैं। यह गणना के लिए अच्छा है।

Q44. यदि बहुलक = 16 और माध्य = 16 हो, तो माध्यिका क्या होगी?

16 32 0 48

व्याख्या: व्याख्या: यदि माध्य और बहुलक बराबर हैं, तो माध्यिका भी उनके बराबर ही होगी। (16)।

Q45. किसी वितरण में, वह मान जो इसे दो बराबर भागों में बांटता है, कहलाता है:

माध्य माध्यिका बहुलक बारंबारता

व्याख्या: व्याख्या: केक को बीच से काटने वाला चाकू 'माध्यिका' है। 50% इधर, 50% उधर।

Q46. 6, 8, 9, x, 13 का माध्य 10 है, तो x का मान है:

12 14 13 15

व्याख्या: व्याख्या: 5 संख्याएँ, माध्य 10। कुल जोड़ 50 होना चाहिए। अभी 6+8+9+13 = 36 है। 50 के लिए 14 और चाहिए।

Q47. तोरण खींचने के लिए, बिंदुओं को ग्राफ पर किस आधार पर अंकित किया जाता है?

निम्न सीमा और बारंबारता ऊपरी सीमा और संचयी बारंबारता वर्ग चिह्न और बारंबारता कोई नहीं

व्याख्या: व्याख्या: "से कम" तोरण में हम 'ऊपरी सीमा' और 'संचयी बारंबारता' (CF) का उपयोग करते हैं।

Q48. बहुलक वर्ग के लिए आयत (Histogram) की ऊँचाई कैसी होती है?

सबसे छोटी सबसे बड़ी बराबर शून्य

व्याख्या: व्याख्या: जिसकी बारंबारता सबसे ज्यादा होगी, उसका खंभा (Building) सबसे ऊँचा बनेगा।

Q49. यदि किसी आंकड़े का माध्य (Mean) 20 है और माध्यिका (Median) 22 है, तो बहुलक (Mode) होगा:

20 26 24 25

व्याख्या: व्याख्या: बहुलक = 3(22) - 2(20) = 66 - 40 = 26।

Q50. सांख्यिकी (Statistics) का पिता किसे कहा जाता है? (GK)

आर्यभट्ट सर रोनाल्ड फिशर (R.A. Fisher) न्यूटन आइंस्टीन

व्याख्या: व्याख्या: सर रोनाल्ड फिशर को आधुनिक सांख्यिकी का जनक माना जाता है। यह नाम याद रखना अच्छा है।

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