कक्षा 10 गणित अध्याय 13: पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन | नोट्स, प्रश्न-उत्तर व MCQ टेस्ट | Bihar Board

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📚 अध्याय 13 : पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

Class 10 Maths | Surface Areas and Volumes | Notes, प्रश्नोत्तरी & 50 MCQ Test

📘 Bihar Board / Class 10📝 Notes + Q&A🎯 50 MCQ Test

शुरुआत मूल बातें घन-घनाभ बेलन संयुक्त ठोस सभी सूत्र हल उदाहरण परीक्षा सारांश 📋 प्रश्नोत्तरी 📝 50 MCQ

📖 अध्याय 13 : पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन — अध्ययन सामग्री

शुरुआत — पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन में क्या फर्क है?

मैं जब भी यह अध्याय शुरू करता हूँ, छात्रों से एक सवाल पूछता हूँ — "एक डिब्बा है, उसे कागज से ढकना है — क्या निकालेंगे?" जवाब आता है — पृष्ठीय क्षेत्रफल। फिर पूछता हूँ — "उसी डिब्बे में पानी भरना है — क्या निकालेंगे?" जवाब आता है — आयतन। बस, यही पूरा अध्याय है।

पृष्ठीय क्षेत्रफल

किसी ठोस की बाहरी सतह का कुल क्षेत्रफल। जैसे डिब्बे को कागज से ढकने के लिए कितने वर्ग सेंटीमीटर कागज चाहिए।

आयतन

ठोस के भीतर की जगह। जैसे डिब्बे में कितना पानी या रेत आ सकती है।

याद रखें: पृष्ठीय क्षेत्रफल की इकाई cm², m² आदि होती है। आयतन की इकाई cm³, m³ आदि होती है।

💡 मेरी सलाह: जब मैंने पहली बार यह अध्याय पढ़ाया था, तब मुझे एहसास हुआ कि छात्र TSA और CSA में सबसे ज्यादा उलझते हैं। एक बात याद रखें: TSA = पूरी बाहरी सतह (सभी फलक/आधार सहित), CSA = सिर्फ घूमने वाली वक्र सतह। इकाइयाँ ही बता देंगी कि कौन-सा सूत्र लगाना है।

पहला कदम — मूल बातें समझें

चित्र 1: घनाभ की तीन मापें

चित्र 2: घन की हर भुजा बराबर

माप	अर्थ	उदाहरण
त्रिज्या (r)	केंद्र से किनारे तक दूरी	गोले/बेलन के केंद्र से सतह तक
व्यास (d)	केंद्र से होकर एक किनारे से दूसरे तक	d = 2r
तिर्यक ऊँचाई (l)	शंकु की ढलान वाली ऊँचाई	l = √(r² + h²)
लंब ऊँचाई (h)	आधार से शीर्ष तक लंब दूरी	शंकु या बेलन की ऊँचाई

इकाई बदलना: 1 m = 100 cm; 1 m² = 10,000 cm²; 1 m³ = 10,00,000 cm³; 1 लीटर = 1000 cm³.

दूसरा कदम — घन और घनाभ के सूत्र

चित्र 3: घनाभ के छह फलक

चित्र 4: घन के 6 समान वर्गाकार फलक

घनाभ: पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2h(l+b)

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb+bh+hl)

आयतन = l × b × h

---

घन: पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4a²

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²

आयतन = a³

हल उदाहरण 1

प्रश्न: लंबाई 8 cm, चौड़ाई 5 cm और ऊँचाई 4 cm वाले डिब्बे का आयतन और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

आसान तरीका: आयतन निकालना हो तो तीनों माप गुणा करें। पूरी बाहरी सतह चाहिए तो तीन अलग-अलग जोड़ी वाले फलकों के क्षेत्रफल जोड़कर 2 से गुणा करें।

1. दिए गए मान: l = 8 cm, b = 5 cm, h = 4 cm.
2. आयतन का सूत्र: V = l × b × h. मान रखने पर V = 8 × 5 × 4 = 160 cm³. इसका अर्थ है डिब्बे के अंदर 160 घन सेमी जगह है।
3. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र: TSA = 2(lb + bh + hl).
4. अब lb = 8×5 = 40, bh = 5×4 = 20 और hl = 4×8 = 32.
5. TSA = 2(40 + 20 + 32) = 2×92 = 184 cm².

हल उदाहरण 2

प्रश्न: घन की भुजा 6 cm है। इसका आयतन और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

1. दिया है: घन की प्रत्येक भुजा a = 6 cm. घन में लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई बराबर होती हैं।
2. आयतन: V = a³ = 6×6×6 = 216 cm³.
3. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: घन के 6 बराबर वर्गाकार फलक होते हैं। इसलिए TSA = 6a² = 6×6² = 6×36 = 216 cm².
4. ध्यान दें: आयतन की इकाई cm³ और क्षेत्रफल की इकाई cm² लिखें।

💡 ट्रिक: घन में जब भुजा दोगुनी हो जाए — आयतन 8 गुना (क्योंकि a³) और TSA 4 गुना (क्योंकि a²) हो जाता है। यह ट्रिक MCQ में बहुत काम आती है।

तीसरा कदम — लंबवृत्तीय बेलन (Cylinder)

चित्र 5: बेलन के दो वृत्ताकार आधार

चित्र 6: वक्र सतह का जाल

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = 2πrh

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 2πr(h+r)

आयतन = πr²h

हल उदाहरण 3

प्रश्न: त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 10 cm वाले बेलन का आयतन ज्ञात करें (π = 22/7)।

हल — कदम-दर-कदम:

1. दिया है: r = 7 cm, h = 10 cm और π = 22/7.
2. बेलन का आयतन V = πr²h होता है।
3. मान रखें: V = (22/7) × 7 × 7 × 10.
4. एक 7 कट जाएगा: 22 × 7 × 10 = 1540.
5. अतः आयतन = 1540 cm³. याद रखें, आयतन की इकाई घन इकाई होती है।

हल उदाहरण 4

हल — कदम-दर-कदम:

1. उसी बेलन में r = 7 cm और h = 10 cm है।
2. केवल घुमावदार सतह का क्षेत्रफल चाहिए, इसलिए CSA = 2πrh लगाएँ।
3. मान रखें: 2 × (22/7) × 7 × 10.
4. 7 से 7 कटेगा: 2 × 22 × 10 = 440 cm².
5. अतः वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 440 वर्ग सेमी है। दोनों आधार जोड़ने हों तो TSA का सूत्र उपयोग करें।

⚠️ सबसे आम गलती: छात्र CSA और TSA में उलझ जाते हैं। याद रखें — CSA में सिर्फ वक्र सतह (2πrh), TSA में दोनों आधार भी (+ 2πr²)। प्रश्न में "खुला बेलन" आए तो CSA, "बंद बेलन" आए तो TSA।

1. ठोसों का संयोजन (Visuals)

2. सभी महत्वपूर्ण सूत्र (All Formulas)

प्रश्नों को हल करने के लिए ये सूत्र कंठस्थ होने चाहिए।

आकृति (Shape)	वक्र पृष्ठीय क्षे० (CSA)	कुल पृष्ठीय क्षे० (TSA)	आयतन (Volume)
1. घनाभ (Cuboid)	2h(l + b)	2(lb + bh + hl)	l × b × h
2. घन (Cube)	4a²	6a²	a³
3. बेलन (Cylinder)	2πrh	2πr(r + h)	πr²h
4. शंकु (Cone)	πrl	πr(l + r)	1/3 πr²h
5. गोला (Sphere)	4πr²	4πr²	4/3 πr³
6. अर्धगोला (Hemisphere)	2πr²	3πr²	2/3 πr³

नोट: शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = √(h² + r²) होती है।

3. उदाहरण 1: संयोजन का क्षेत्रफल

प्रश्न: एक खिलौना 3.5 cm त्रिज्या वाले अर्धगोले पर अध्यारोपित उसी त्रिज्या वाले शंकु के आकार का है। खिलौने की कुल ऊँचाई 15.5 cm है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हल:
1. त्रिज्या (r) = 3.5 cm
2. शंकु की ऊँचाई (h) = कुल ऊँचाई - त्रिज्या
h = 15.5 - 3.5 = 12 cm
3. शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) निकालें:
l = √(12² + 3.5²) = √(144 + 12.25) = √156.25 = 12.5 cm

4. कुल क्षेत्रफल = शंकु का CSA + अर्धगोले का CSA
= πrl + 2πr²
= (22/7) × 3.5 × 12.5 + 2 × (22/7) × (3.5)²
= 137.5 + 77
= 214.5 cm²

4. उदाहरण 2: एक ठोस का दूसरे में रूपांतरण

प्रश्न: 4.2 cm त्रिज्या वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर 6 cm त्रिज्या वाले बेलन में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात करें।

हल:
नियम: पिघलाने पर आयतन (Volume) समान रहता है।

गोले का आयतन = बेलन का आयतन
4/3 πR³ = πr²h
(π से π कट जाएगा)
4/3 × (4.2)³ = (6)² × h
4/3 × 4.2 × 4.2 × 4.2 = 36 × h
h = (4 × 1.4 × 4.2 × 4.2) / 36
h = 2.74 cm (लगभग)

📝 परीक्षा सारांश (Exam Summary)

• 🔄 आयतन (Volume) का नियम: जब किसी ठोस को पिघलाकर दूसरे आकार में बदला जाता है (Recasting), तो उसका आयतन हमेशा समान रहता है। (Volume 1 = Volume 2)
• ➕ संयोजन का क्षेत्रफल: जब दो ठोस जुड़ते हैं (जैसे कैप्सूल = बेलन + अर्धगोले), तो उनके जुड़ने वाले हिस्से छुप जाते हैं। इसलिए हमेशा उनके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) को जोड़ें, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) को नहीं।
• 💧 पानी का बहाव: नहर या पाइप वाले सवालों में, पानी की चाल (Speed) को ही लंबाई (h) मानें। (आयतन = अनुप्रस्थ काट का क्षे० × चाल × समय)।
• ⚠️ इकाई (Units) परिवर्तन: प्रश्न में ध्यान दें कि सभी इकाइयाँ एक समान हों (cm या m)। यदि त्रिज्या cm में और ऊँचाई m में है, तो पहले उन्हें एक जैसा करें। लीटर को घन मीटर में बदलने का संबंध (1 m³ = 1000 Litres) याद रखें।

"शंकु छिन्नक (Frustum) के सूत्र बड़े होते हैं, उन्हें लिखकर याद करें। गणना (Calculation) में π का मान अंत में रखने से समय बचता है।"

📋 प्रश्नोत्तरी

अति लघु उत्तरीय प्रश्न

1घनाभ का आयतन निकालने का सूत्र क्या है?➜

उत्तर: V = l × b × h
समझें: लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई को आपस में गुणा करें; उत्तर घन इकाई में होगा।

2घन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?➜

उत्तर: TSA = 6a²
समझें: पहले भुजा का वर्ग (a×a) निकालें, फिर 6 से गुणा करें क्योंकि घन के 6 समान फलक होते हैं।

3बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?➜

उत्तर: CSA = 2πrh
समझें: त्रिज्या और ऊँचाई को गुणा करके 2π से गुणा करें; दोनों गोल आधार इसमें शामिल नहीं होते।

4गोले का आयतन क्या है?➜

उत्तर: V = 4/3 πr³
समझें: त्रिज्या का घन r×r×r निकालें, फिर 4π/3 से गुणा करें।

5पुनर्गठन (Recasting) में ठोस का कौन-सा परिमाण समान रहता है?➜

उत्तर: आयतन समान रहता है।
समझें: आकार बदल सकता है, लेकिन पिघलाने पर पदार्थ की कुल जगह (आयतन) नहीं बदलती।

लघु उत्तरीय प्रश्न

1दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 सेमी³ है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. घन की भुजा निकालें:
घन का आयतन = भुजा³ = 64
भुजा = ³√64 = 4 सेमी

2. घनाभ की विमाएँ (Dimensions):
जब दो घनों को सटाकर रखते हैं, तो केवल लंबाई बढ़ती है। चौड़ाई और ऊँचाई वही रहती है。
लंबाई (L) = 4 + 4 = 8 सेमी
चौड़ाई (B) = 4 सेमी
ऊँचाई (H) = 4 सेमी

3. घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल:
सूत्र: 2(LB + BH + HL)
= 2(8×4 + 4×4 + 4×8)
= 2(32 + 16 + 32)
= 2(80)
= 160 सेमी²

निष्कर्ष:
अतः घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 160 वर्ग सेमी है。

2एक शंकु (Cone) की तिर्यक ऊँचाई (Slant Height) 10 सेमी है और आधार की त्रिज्या 7 सेमी है। शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. तिर्यक ऊँचाई (l) = 10 सेमी
त्रिज्या (r) = 7 सेमी

2. शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = πrl

3. मान रखने पर:
= (22/7) × 7 × 10

4. 7 से 7 कट जाएगा。
= 22 × 10
= 220 सेमी²

निष्कर्ष:
अतः शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 220 सेमी² है。

37 सेमी त्रिज्या वाले एक गोले (Sphere) का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. त्रिज्या (r) = 7 सेमी
गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 4πr²

2. मान रखने पर:
= 4 × (22/7) × 7 × 7

3. एक 7 नीचे वाले 7 से कट जाएगा。
= 4 × 22 × 7
= 88 × 7
= 616 सेमी²

निष्कर्ष:
अतः गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 सेमी² है。

4एक बेलन (Cylinder) के आधार की परिधि 44 सेमी है और उसकी ऊँचाई 10 सेमी है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. त्रिज्या निकालें:
परिधि = 2πr = 44
2 × (22/7) × r = 44
44r / 7 = 44
r = 7 सेमी

2. आयतन निकालें:
ऊँचाई (h) = 10 सेमी
सूत्र: आयतन = πr²h
= (22/7) × 7 × 7 × 10
= 22 × 7 × 10 (एक 7 कट गया)
= 154 × 10
= 1540 सेमी³

निष्कर्ष:
अतः बेलन का आयतन 1540 सेमी³ है。

5एक खिलौना 3.5 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले (Hemisphere) पर अध्यारोपित उसी त्रिज्या वाले एक शंकु के आकार का है। खिलौने की कुल ऊँचाई 15.5 सेमी है। शंकु की ऊँचाई क्या होगी?➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. खिलौना दो हिस्सों से बना है: नीचे अर्धगोला और ऊपर शंकु。
अर्धगोले की त्रिज्या = 3.5 सेमी
अर्धगोले की खुद की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर ही होती है (यानी 3.5 सेमी)。

2. कुल ऊँचाई = 15.5 सेमी
शंकु की ऊँचाई (h) = कुल ऊँचाई - अर्धगोले की ऊँचाई
h = 15.5 - 3.5
h = 12 सेमी

निष्कर्ष:
अतः शंकु वाले भाग की ऊँचाई 12 सेमी है。

6दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64:27 है। उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. त्रिज्याओं का अनुपात:
आयतन का अनुपात = (r₁/r₂)³ = 64/27
r₁/r₂ = ³√(64/27)
r₁/r₂ = 4/3

2. क्षेत्रफल का अनुपात:
क्षेत्रफल का अनुपात = (r₁/r₂)²
= (4/3)²
= 16/9

निष्कर्ष:
अतः उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 16:9 है。

7एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 10 सेमी, 8 सेमी और 6 सेमी है। इसका विकर्ण (Diagonal) ज्ञात कीजिए।➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. L = 10, B = 8, H = 6
विकर्ण का सूत्र = √(L² + B² + H²)

2. मान रखने पर:
= √(10² + 8² + 6²)
= √(100 + 64 + 36)
= √200

3. 200 को हम 100 × 2 लिख सकते हैं。
= √(100 × 2)
= 10√2 सेमी

निष्कर्ष:
अतः घनाभ का विकर्ण 10√2 सेमी है。

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

1एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 सेमी हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए।➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

दिया है:
त्रिज्या (r) = 1 सेमी
शंकु की ऊँचाई (h) = त्रिज्या = 1 सेमी

ठोस का कुल आयतन = (शंकु का आयतन) + (अर्धगोले का आयतन)

1. शंकु का आयतन = (1/3)πr²h
= (1/3)π(1)²(1)
= π/3

2. अर्धगोले का आयतन = (2/3)πr³
= (2/3)π(1)³
= 2π/3

3. कुल आयतन:
= π/3 + 2π/3
= (π + 2π) / 3
= 3π / 3
= π

निष्कर्ष:
अतः ठोस का आयतन π सेमी³ है。

2दवा का एक कैप्सूल (Capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा हुआ है। पूरे कैप्सूल की लंबाई 14 मिमी है और उसका व्यास 5 मिमी है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. व्यास = 5 मिमी, तो त्रिज्या (r) = 2.5 मिमी。

2. बेलनाकार भाग की लंबाई (h):
कुल लंबाई में से दोनों तरफ के अर्धगोलों की त्रिज्या घटानी पड़ेगी。
h = 14 - (2.5 + 2.5)
h = 14 - 5 = 9 मिमी

3. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल:
= (बेलन का वक्र पृष्ठ) + 2 × (अर्धगोले का वक्र पृष्ठ)
= 2πrh + 2 × (2πr²)
= 2πrh + 4πr²

4. कॉमन लेने पर: 2πr(h + 2r)
= 2 × (22/7) × 2.5 × (9 + 2×2.5)
= (44/7) × 2.5 × (9 + 5)
= (44/7) × 2.5 × 14

5. 7 से 14 को काटा तो 2 आया。
= 44 × 2.5 × 2
= 44 × 5
= 220 मिमी²

निष्कर्ष:
अतः कैप्सूल का पृष्ठीय क्षेत्रफल 220 मिमी² है。

3क्रमशः 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस बड़े गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।➜

उत्तर:

हल (कदम-दर-कदम):

1. जब भी चीजों को पिघलाकर नई चीज बनाते हैं, तो आयतन (Volume) बराबर रहता है。

2. तीनों छोटे गोलों का कुल आयतन = बड़े गोले का आयतन
(4/3)πr₁³ + (4/3)πr₂³ + (4/3)πr₃³ = (4/3)πR³

3. दोनों तरफ से (4/3)π कॉमन लेकर कट जाएगा。
बचेगा: r₁³ + r₂³ + r₃³ = R³

4. मान रखने पर:
6³ + 8³ + 10³ = R³
216 + 512 + 1000 = R³
1728 = R³

5. अब हमें देखना है कि 1728 किसका घन (Cube) है。
12 × 12 × 12 = 1728 होता है。
R = 12 सेमी

निष्कर्ष:
अतः बड़े गोले की त्रिज्या 12 सेमी होगी。

📝 50 MCQ Online Test

समय: 50 मिनट   |   प्रश्न: 50   |   तुरंत सही/गलत चिन्ह

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Q1. एक घन (Cube) का आयतन निकालने का सूत्र क्या होता है, यदि उसकी भुजा 'a' हो?

a² a³ 3a 6a²

व्याख्या: घन के अंदर कितनी जगह है (आयतन), यह जानने के लिए भुजा को तीन बार गुणा करते हैं (लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई)। चूँकि सब बराबर हैं, इसलिए a × a × a = a³।

Q2. एक बेलन (Cylinder) के आधार की त्रिज्या r और ऊँचाई h है, तो उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) क्या होगा?

πr²h 2πrh 2πr(r+h) πrh

व्याख्या: वक्र पृष्ठ मतलब सिर्फ गोल दीवार (ऊपर-नीचे का ढक्कन छोड़कर)। इसका सूत्र 2πrh होता है।

Q3. यदि दो गोलों की त्रिज्याओं का अनुपात 1:2 है, तो उनके आयतनों का अनुपात क्या होगा?

1:4 1:2 1:8 1:16

व्याख्या: आयतन में त्रिज्या का 'क्यूब' (घन) होता है। 1 का क्यूब 1, और 2 का क्यूब 8। तो 1:8।

Q4. शंकु (Cone) का आयतन बेलन के आयतन का कितना भाग होता है, यदि दोनों की त्रिज्या और ऊँचाई समान हो?

आधा (1/2) तिहाई (1/3) बराबर दुगना (2)

व्याख्या: अगर आप एक बेलन में पानी भरें और उसे उसी साइज के शंकु में डालें, तो आपको 3 बार शंकु भरना पड़ेगा। यानी शंकु बेलन का तीसरा हिस्सा (1/3) होता है।

Q5. अर्द्धगोले (Hemisphere) का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होता है?

2πr² 3πr² 4πr² πr²

व्याख्या: आधा गोला (2πr²) + ऊपर का कटा हुआ गोल ढक्कन (πr²) = कुल मिलाकर 3πr²।

Q6. एक घनाभ (Cuboid) की लंबाई l, चौड़ाई b और ऊँचाई h है। इसका आयतन क्या होगा?

l × b × h 2(lb + bh + hl) √ (l² + b² + h²) l + b + h

व्याख्या: किसी बक्से (घनाभ) में कितनी हवा आएगी, यह जानने के लिए बस लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई को गुणा कर दो।

Q7. 7 सेमी त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?

154 सेमी² 616 सेमी² 308 सेमी² 88 सेमी²

व्याख्या: सूत्र: 4πr²। 4 × (22/7) × 7 × 7। एक 7 कट गया। 4 × 22 × 7 = 88 × 7 = 616।

Q8. यदि किसी घन की भुजा को दुगना कर दिया जाए, तो उसका आयतन कितना गुना हो जाएगा?

2 गुना 4 गुना 8 गुना 6 गुना

व्याख्या: भुजा 2 गुनी हुई, तो आयतन (2)³ = 2×2×2 = 8 गुना हो जाएगा।

Q9. शंकु की तिर्यक ऊँचाई (Slant Height) 'l' निकालने का सूत्र क्या है?

l = √(h² - r²) l = √(h² + r²) l = h + r l = h² + r²

व्याख्या: शंकु में पाइथागोरस प्रमेय लगता है। टेढ़ी ऊँचाई (l) कर्ण होती है। इसलिए l = √(h² + r²)।

Q10. एक बेलन और शंकु के आधार और ऊँचाई समान हैं। उनके आयतनों का अनुपात क्या होगा?

1:3 3:1 1:1 1:2

व्याख्या: बेलन बड़ा होता है (पूरा), शंकु उसका तिहाई होता है। तो बेलन : शंकु = 3 : 1।

Q11. गोले का आयतन निकालने का सूत्र है:

2/3 πr³ 4/3 πr³ 3πr³ πr³

व्याख्या: पूरा गोला 4/3 πr³ होता है। (अर्द्धगोला 2/3 πr³ होता है)।

Q12. एक बेलन का आयतन क्या होगा यदि त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है?

1540 सेमी³ 154 सेमी³ 440 सेमी³ 770 सेमी³

व्याख्या: सूत्र πr²h। (22/7) × 7 × 7 × 10। एक 7 कटा। 22 × 7 × 10 = 154 × 10 = 1540।

Q13. किसी ठोस को एक आकार से दूसरे आकार में बदलने पर (जैसे मोम पिघलाकर), उसका आयतन:

बढ़ जाता है घट जाता है अपरिवर्तित रहता है (समान रहता है) दोगुना हो जाता है

व्याख्या: जैसे गीली मिट्टी से हाथी बनाकर फिर उसी मिट्टी से घोड़ा बनाओ, मिट्टी (आयतन) उतनी ही रहेगी।

Q14. घन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होता है?

4a² 6a² a³ 2a²

व्याख्या: लूडो के पासे (घन) में 6 चेहरे होते हैं। हर चेहरा एक वर्ग (a²) है। तो कुल 6a²।

Q15. एक शंकु के आधार की त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है। इसकी तिर्यक ऊँचाई (l) क्या होगी?

5 सेमी 7 सेमी 3.5 सेमी 12 सेमी

व्याख्या: √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5। पाइथागोरस त्रिक (3, 4, 5) याद रखें।

Q16. बाल्टी (Bucket) किस आकार की होती है?

शंकु बेलन शंकु का छिन्नक (Frustum) गोला

व्याख्या: बाल्टी शंकु को ऊपर से काटकर बनाई जाती है, जिसे 'छिन्नक' (Frustum) कहते हैं।

Q17. दो घनों के आयतनों का अनुपात 1:27 है, तो उनकी भुजाओं का अनुपात क्या होगा?

1:3 1:9 1:27 3:1

व्याख्या: आयतन क्यूब में है। भुजा निकालने के लिए क्यूब रूट (घनमूल) निकालें। 1 का 1, और 27 का 3 (क्योंकि 3×3×3=27)।

Q18. बेलन का पूर्ण (Total) पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होता है?

2πrh 2πr(h + r) πr²h 2πr²

व्याख्या: वक्र सतह (2πrh) + ऊपर का ढक्कन (πr²) + नीचे का पेंदा (πr²)। सब मिलाकर 2πr(h+r)।

Q19. एक खोखले गोले (Hollow Sphere) में लगी धातु का आयतन कैसे निकालते हैं? (बाहरी त्रिज्या R, भीतरी r)

4/3 πR³ 4/3 π(R³ - r³) 4/3 π(R - r)³ 2/3 π(R³ - r³)

व्याख्या: बड़े गोले के आयतन में से अंदर की खाली जगह (छोटा गोला) का आयतन घटा दो।

Q20. घनाभ का विकर्ण (Diagonal) निकालने का सूत्र क्या है?

√(l² + b² + h²) l + b + h √(l² + b²) l² + b² + h²

व्याख्या: कमरे के एक कोने से हवा में होते हुए दूसरे कोने तक की दूरी। यह √(l² + b² + h²) होती है।

Q21. 7 सेमी भुजा वाले घन का आयतन क्या होगा?

49 सेमी³ 343 सेमी³ 294 सेमी³ 21 सेमी³

व्याख्या: 7 का क्यूब करना है। 7 × 7 × 7 = 343।

Q22. समान ऊँचाई और समान त्रिज्या वाले बेलन, शंकु और अर्धगोले के आयतनों का अनुपात क्या होगा?

3 : 1 : 2 1 : 2 : 3 2 : 1 : 3 3 : 2 : 1

व्याख्या: बेलन (πr²h) : शंकु (1/3 πr²h) : अर्द्धगोला (2/3 πr³)। यहाँ h=r मान लो। अनुपात 3:1:2 आता है।

Q23. यदि किसी बेलन की त्रिज्या आधी और ऊँचाई दुगनी कर दी जाए, तो उसका आयतन:

आधा हो जाएगा दुगना हो जाएगा समान रहेगा चार गुना हो जाएगा

व्याख्या: आयतन r² पर निर्भर है। r आधा किया तो (1/2)² = 1/4 हो गया। ऊँचाई दुगनी (2) की। तो 1/4 × 2 = 1/2। यानी आधा हो जाएगा।

Q24. शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) क्या है?

πrl 2πrh πr² πr(l+r)

व्याख्या: शंकु की जोकर वाली टोपी की सतह πrl होती है। (l = तिर्यक ऊँचाई)।

Q25. 14 सेमी व्यास वाले अर्द्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?

147π 462 सेमी² 308 सेमी² 588 सेमी²

व्याख्या: व्यास 14 है तो त्रिज्या 7। अर्द्धगोले का कुल पृष्ठ 3πr² होता है। 3 × (22/7) × 7 × 7 = 3 × 154 = 462।

Q26. माचिस की डिब्बी (Matchbox) किस आकार की होती है?

घन घनाभ बेलन शंकु

व्याख्या: माचिस की डिब्बी की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई अलग-अलग होती है, इसलिए यह घनाभ (Cuboid) है।

Q27. यदि एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सेमी² है, तो उसकी त्रिज्या क्या होगी?

7 सेमी 3.5 सेमी 14 सेमी 21 सेमी

व्याख्या: 4πr² = 154 ⇒ 4 × (22/7) × r² = 154। काटने पर r² = 12.25 आएगा, तो r = 3.5 सेमी।

Q28. 21 सेमी त्रिज्या वाले अर्द्धगोले का आयतन क्या होगा?

19404 सेमी³ 38808 सेमी³ 9702 सेमी³ 4851 सेमी³

व्याख्या: सूत्र 2/3 πr³। 2/3 × 22/7 × 21 × 21 × 21। उत्तर 19404 आएगा।

Q29. एक घन का विकर्ण √12 सेमी है, तो उसकी भुजा कितनी है?

2 सेमी √3 सेमी 4 सेमी 2√3 सेमी

व्याख्या: घन का विकर्ण = a√3। a√3 = √12। a√3 = 2√3। तो a = 2 सेमी।

Q30. पानी पीने वाला गिलास (Glass) आमतौर पर किस आकार का होता है?

बेलन शंकु शंकु का छिन्नक घनाभ

व्याख्या: गिलास नीचे से पतला और ऊपर से चौड़ा होता है। इसे 'शंकु का छिन्नक' (Frustum of a cone) कहते हैं।

Q31. किसी बेलन की ऊँचाई 14 सेमी और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 सेमी² है। बेलन की त्रिज्या क्या है?

1 सेमी 2 सेमी 3 सेमी 4 सेमी

व्याख्या: 2πrh = 88। 2 × (22/7) × r × 14 = 88। 88r = 88, तो r = 1 सेमी।

Q32. यदि शंकु की ऊँचाई दुगनी कर दी जाए, तो उसका आयतन:

दुगना हो जाएगा आधा हो जाएगा चार गुना हो जाएगा समान रहेगा

व्याख्या: आयतन (1/3 πr²h) ऊँचाई (h) के सीधे समानुपाती होता है। h दुगना तो आयतन भी दुगना।

Q33. घनाभ के कुल कितने फलक (Faces) होते हैं?

4 6 8 12

व्याख्या: एक ईंट या डब्बे को देखो - ऊपर, नीचे, आगे, पीछे, बाएँ, दाएँ। कुल 6 फलक।

Q34. 6 सेमी भुजा वाले तीन घनों को सटाकर रखने पर बने घनाभ की लंबाई क्या होगी?

6 सेमी 12 सेमी 18 सेमी 24 सेमी

व्याख्या: तीन डिब्बे लाइन से रखे तो लंबाई तीन गुना हो जाएगी। 6 + 6 + 6 = 18 सेमी। (चौड़ाई और ऊँचाई वही रहेगी)।

Q35. एक शंकु के छिन्नक (Frustum) का आयतन सूत्र क्या है?

1/3 πh (R² + r² + Rr) 1/3 πh (R² - r²) πh (R² + r²) 1/3 πr²h

व्याख्या: यह बाल्टी वाला फार्मूला है। इसमें बड़ी त्रिज्या (R) और छोटी त्रिज्या (r) दोनों का इस्तेमाल होता है।

Q36. 10 सेमी त्रिज्या के एक ठोस गोले को पिघलाकर, 1 सेमी त्रिज्या की कितनी छोटी गोलियाँ बनाई जा सकती हैं?

10 100 1000 500

व्याख्या: बड़े गोले का आयतन / छोटे गोले का आयतन। त्रिज्याओं का क्यूब करो। (10)³ / (1)³ = 1000 / 1 = 1000 गोलियाँ।

Q37. यदि किसी बेलन का आयतन V है और आधार का क्षेत्रफल A है, तो ऊँचाई क्या होगी?

V/A V × A A/V √(V/A)

व्याख्या: आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई (V = A × h)। तो h = V/A।

Q38. घनाभ के कोरों (Edges) की कुल संख्या कितनी होती है?

6 8 12 10

व्याख्या: कोर मतलब किनारे। 4 नीचे, 4 ऊपर और 4 खंभे। कुल 12 किनारे।

Q39. एक लंब वृत्तीय बेलन के आधार का परिमाप 44 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। आयतन क्या होगा?

1540 सेमी³ 440 सेमी³ 154 सेमी³ 770 सेमी³

व्याख्या: परिमाप (2πr) = 44, तो r = 7। आयतन = πr²h = (22/7)×7×7×10 = 1540।

Q40. एक छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई (l) का सूत्र क्या है?

√(h² + (R-r)²) √(h² + (R+r)²) √(h² + R²) h + R - r

व्याख्या: शंकु जैसा ही है, बस त्रिज्या की जगह दोनों त्रिज्याओं का अंतर (R-r) लेते हैं।

Q41. किस ठोस का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल का मान (संख्यात्मक रूप से) समान होता है यदि त्रिज्या 3 इकाई हो?

बेलन गोला शंकु घन

व्याख्या: गोले का आयतन = 4/3 πr³, पृष्ठ = 4πr²। r=3 रखने पर दोनों का मान 36π आता है।

Q42. समान आधार त्रिज्या 'r' वाले दो अर्धगोलों को उनके आधारों से जोड़ दिया जाए, तो नए ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?

2πr² 4πr² 6πr² 8πr²

व्याख्या: दो आधे गोले जोड़ने पर एक पूरा गोला बन जाता है। पूरे गोले का पृष्ठ 4πr² होता है।

Q43. एक 6 सेमी × 9 सेमी × 12 सेमी घनाभ को पिघलाकर कम से कम कितने घन बनाए जा सकते हैं यदि घन की भुजा 3 सेमी हो?

6 12 24 8

व्याख्या: घनाभ का आयतन (6×9×12) / घन का आयतन (3×3×3) = 648 / 27 = 24।

Q44. खोखले बेलन (पाइप) का आयतन निकालने का सूत्र है:

πh(R² - r²) πh(R² + r²) 2πh(R - r) πr²h

व्याख्या: बाहरी बेलन में से भीतरी बेलन घटाना है। πR²h - πr²h = πh(R² - r²)।

Q45. यदि r = 7 सेमी, h = 10 सेमी है, तो बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?

220 सेमी² 440 सेमी² 154 सेमी² 308 सेमी²

व्याख्या: 2πrh = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 2 × 22 × 10 = 440।

Q46. एक घन का आयतन 8 सेमी³ है। इसका किनारा (भुजा) कितना होगा?

4 सेमी 2 सेमी 8 सेमी 2√2 सेमी

व्याख्या: किस संख्या को तीन बार गुणा करने पर 8 आता है? 2 × 2 × 2 = 8।

Q47. एक ही आधार त्रिज्या 'r' वाले दो ठोस – एक बेलन और एक शंकु – की ऊँचाई समान है। उनके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात निम्न में से कौन-सा नहीं हो सकता?

1 : 1 2 : 1 1 : 2 यह r के मान पर निर्भर करता है

व्याख्या: बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl , जहाँ l = √(h² + r²) चूँकि l हमेशा h से बड़ा होता है , इसलिए अनुपात बेलन : शंकु = 2h : l यह अनुपात कभी भी 2 : 1 नहीं हो सकता, क्योंकि इसके लिए l = h होना चाहिए, जो संभव नहीं है। अतः सही उत्तर है 2 : 1 ।

Q48. क्या हम एक शंकु को, जिसका आधार और ऊँचाई वही है, उसी आकार के बेलन में पूरा फिट कर सकते हैं?

हाँ, आसानी से नहीं, शंकु बड़ा होगा नहीं, दोनों बराबर हैं केवल यदि त्रिज्या 0 हो

व्याख्या: हाँ, क्योंकि शंकु बेलन का ही एक छोटा (तिहाई) हिस्सा होता है, तो वह उसके अंदर आराम से आ जाएगा।

Q49. घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral Surface Area) क्या है? (कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल)

2(l + b) × h l × b × h 2(lb + bh + hl) lb + bh

व्याख्या: सिर्फ दीवारें (छत और फर्श छोड़कर)। इसका सूत्र आधार का परिमाप × ऊँचाई होता है, यानी 2(l+b)h।

Q50. गणित में 'ठोस' (Solid) का क्या मतलब है?

जो बहुत मजबूत हो 3-आयामी (3D) आकृति जिसमें आयतन हो केवल पत्थर और लोहा 2-आयामी (2D) आकृति जैसे वर्ग

व्याख्या: गणित में ठोस उसे कहते हैं जो जगह घेरता है (जिसमें लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई तीनों हों), जैसे गेंद, ईंट, आदि।

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