कक्षा 10 गणित अध्याय 5: समांतर श्रेणियाँ | नोट्स, प्रश्न-उत्तर व MCQ टेस्ट | Bihar Board

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📚 अध्याय 5 : समांतर श्रेढ़ियाँ

Arithmetic Progressions (A.P.) — Notes, सूत्र, प्रश्नोत्तर, अभ्यास एवं 50 MCQ Test

nवाँ पदसार्व अंतरn पदों का योगMCQ Test

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📖 परिचय🔢 nवाँ पद📌 पदों की संख्या➕ योग🧩 शब्द समस्याएँ📍 सारांश🎯 अभ्यास📝 MCQ Test

पहला कदम — समांतर श्रेढ़ी (A.P.) क्या है?

मैं जब भी यह अध्याय अपनी कक्षा में शुरू करता हूँ, छात्रों से एक व्यावहारिक प्रश्न पूछता हूँ — "यदि किसी बच्चे की गुल्लक में पहले दिन ₹10 डाले जाएँ और उसके बाद हर रोज़ ₹5-₹5 डाले जाएँ, तो 10वें दिन कितने रुपये होंगे?" छात्र तुरंत जोड़कर बताते हैं: ₹15, ₹20, ₹25...। यह संख्याओं की ऐसी सूची है जिसमें हर अगला पद पिछले पद में एक समान राशि जोड़ने पर प्राप्त हो रहा है। यही समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression - A.P.) है।

संख्याओं की ऐसी सूची जिसमें प्रत्येक पद अपने पिछले पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने पर मिलता है, उसे समांतर श्रेढ़ी कहते हैं। इस निश्चित संख्या को सार्व अंतर (Common Difference — d) कहते हैं।

A.P. की पहचान कैसे करें?
हमेशा बाद वाले पद में से ठीक पहले वाले पद को घटाएँ (d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂)। यदि सभी क्रमागत पदों का अंतर समान आए, तभी वह सूची A.P. होगी।

उदाहरण 1: 2, 4, 6, 8,... → प्रत्येक स्थान पर अंतर (4−2 = 6−4 = 2) समान है, अतः यह A.P. है।
उदाहरण 2: 2, 4, 8, 16,... → यहाँ अंतर पहले 2 है, फिर 4 है। अंतर समान नहीं है, अतः यह A.P. नहीं है।

चित्र 1: समान अंतर वाली सूची — समांतर श्रेढ़ी

• a (प्रथम पद): श्रेढ़ी की सबसे पहली संख्या।
• d (सार्व अंतर): किन्हीं दो क्रमागत पदों का अंतर (d = a₂ − a₁)। यह धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य कुछ भी हो सकता है।
• n (पदों की संख्या): पद किस क्रम पर है (यह हमेशा एक धनात्मक प्राकृत संख्या 1, 2, 3... होती है)।
• aₙ (nवाँ पद): nवें स्थान पर आने वाली संख्या का वास्तविक मान।
• Sₙ (n पदों का योग): प्रथम n पदों को एक साथ जोड़ने पर प्राप्त कुल योग।

💡 शिक्षक की सलाह: जब छात्र पहली बार d निकालते हैं, तो वे बड़े पद में से छोटा पद घटाने लगते हैं। यह बिल्कुल गलत है! यदि श्रेढ़ी घट रही हो (जैसे 10, 7, 4...), तो d = 7 − 10 = −3 होगा। हमेशा (दूसरा पद − पहला पद) ही करें।

दूसरा कदम — nवाँ पद ज्ञात करना (aₙ)

यदि किसी A.P. का 10वाँ, 50वाँ या 100वाँ पद निकालना हो, तो सभी पदों को एक-एक करके लिखने की आवश्यकता नहीं होती। हम व्यापक पद (General Term) का सूत्र लगाते हैं।

aₙ = a + (n − 1)d

सूत्र में (n − 1) क्यों आता है?
पहला पद = a (इसमें 0 बार d जुड़ा)
दूसरा पद = a + d (1 बार d जुड़ा)
तीसरा पद = a + 2d (2 बार d जुड़ा)
इसीलिए nवें पद तक पहुँचने के लिए पहले पद में (n − 1) बार d जोड़ा जाता है।

उदाहरण 1: A.P. 2, 7, 12, 17,... का 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।

1

पहचानें: प्रथम पद a = 2, सार्व अंतर d = 7 − 2 = 5, पदों की संख्या n = 10

2

सूत्र लगाएँ: aₙ = a + (n − 1)d

3

मान रखें: a₁₀ = 2 + (10 − 1) × 5 = 2 + (9 × 5) = 2 + 45 = 47

अंतिम उत्तर: a₁₀ = 47

तीसरा कदम — पदों की संख्या (n) ज्ञात करना

जब श्रेढ़ी का कोई अंतिम या विशिष्ट पद दिया गया हो और यह पता लगाना हो कि वह पद किस स्थान पर है, तब हम aₙ = a + (n − 1)d का प्रयोग करके n का मान निकालते हैं।

उदाहरण 2: A.P. 21, 18, 15,... का कौन-सा पद −81 है?

1

यहाँ a = 21, d = 18 − 21 = −3, और aₙ = −81

2

सूत्र में मान रखें: −81 = 21 + (n − 1)(−3)

3

21 को पक्षांतर करें: −81 − 21 = −3(n − 1) ⇒ −102 = −3(n − 1)

4

−3 से भाग दें: (n − 1) = −102 / −3 = 34 ⇒ n = 34 + 1 = 35

अंतिम उत्तर: इस श्रेढ़ी का 35वाँ पद −81 है।

⚠️ छात्र अक्सर यहाँ गलती करते हैं: ऋणात्मक d के साथ गणना करते समय छात्र चिन्हों में उलझ जाते हैं। यदि n का मान कभी भिन्न (Fraction) या ऋणात्मक आए, तो इसका अर्थ है कि वह संख्या दी गई श्रेढ़ी का पद हो ही नहीं सकती, क्योंकि पदों की संख्या हमेशा धनात्मक पूर्णांक होती है।

चौथा कदम — n पदों का योग (Sₙ) ज्ञात करना

यदि हमें श्रेढ़ी के 50 या 100 पदों को जोड़ना हो, तो साधारण जोड़ बहुत लंबा हो जाएगा। महान गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने देखा कि पहले और अंतिम पद का जोड़, दूसरे और अंतिम से दूसरे पद के जोड़ के बराबर होता है। इसी आधार पर योग का सूत्र बना:

Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]

यदि प्रथम पद a और अंतिम पद l ज्ञात हो: Sₙ = n/2 (a + l)

चित्र 2: प्रथम पद और अंतिम पद के योग से n पदों के योग का सूत्र समझें।

💡 शिक्षक की समझाइश: जब प्रश्न में अंतिम पद (l) साफ दिया हो, तो हमेशा छोटा सूत्र Sₙ = n/2 (a + l) लगाएँ; इससे समय बचेगा और गणना में गलती नहीं होगी।

उदाहरण 3: A.P. 8, 3, −2,... के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

1

यहाँ a = 8, d = 3 − 8 = −5, n = 22

2

सूत्र: Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]

3

S₂₂ = 22/2 [2(8) + (22 − 1)(−5)] = 11 [16 + 21(−5)]

4

= 11 [16 − 105] = 11 × (−89) = −979

अंतिम उत्तर: S₂₂ = −979

5. व्यावहारिक शब्द समस्याएँ (Word Problems)

समांतर श्रेढ़ी का उपयोग दैनिक जीवन में किस्तों पर ऋण चुकाने, वेतन वृद्धि, पंक्तियों में बैठने की व्यवस्था और बचत योजनाओं में होता है।

उदाहरण 4: फूलों की क्यारी में पंक्तियाँ

एक बगीचे में फूलों की क्यारी की पहली पंक्ति में 23 गुलाब के पौधे हैं, दूसरी में 21, तीसरी में 19 और अंतिम पंक्ति में 5 पौधे हैं। इस क्यारी में कुल कितनी पंक्तियाँ हैं?

1

श्रेढ़ी बनाएं: 23, 21, 19, ..., 5। यह एक A.P. है।

2

यहाँ प्रथम पद a = 23, सार्व अंतर d = 21 − 23 = −2, अंतिम पद aₙ = 5

3

aₙ = a + (n − 1)d ⇒ 5 = 23 + (n − 1)(−2)

4

5 − 23 = −2(n − 1) ⇒ −18 = −2(n − 1) ⇒ n − 1 = 9 ⇒ n = 10

अंतिम उत्तर: क्यारी में कुल 10 पंक्तियाँ हैं।

📌 परीक्षा सारांश — मुख्य सूत्र

• सार्व अंतर: d = a₂ − a₁ (धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है)।
• व्यापक nवाँ पद: aₙ = a + (n − 1)d
• n पदों का योग: Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] अथवा Sₙ = n/2 (a + l)
• अंतिम पद से nवाँ पद: l − (n − 1)d
• तीन क्रमागत पद मानने हों तो: (a − d), a, (a + d) मानें।
• प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग: Σn = n(n + 1)/2
• प्रथम n विषम संख्याओं का योग: Sₙ = n²

🎯 अभ्यास प्रश्न — उत्तर सहित (Step-by-Step)

एक समय में केवल एक उत्तर खोलें और पहले स्वयं हल करने का प्रयास करें।

I. अति लघु उत्तरीय प्रश्न — 20 प्रश्न

1समांतर श्रेढ़ी (A.P.) किसे कहते हैं?›

उत्तर:

संख्याओं की ऐसी सूची जिसमें प्रत्येक पद अपने पूर्व पद में एक निश्चित संख्या (सार्व अंतर) जोड़ने पर प्राप्त होता है, समांतर श्रेढ़ी कहलाती है।

2समांतर श्रेढ़ी का सार्व अंतर किस अक्षर से दर्शाया जाता है?›

उत्तर:

सार्व अंतर को 'd' (Common Difference) से दर्शाया जाता है।

3A.P. का प्रथम पद किस अक्षर से दर्शाया जाता है?›

उत्तर:

प्रथम पद को 'a' से दर्शाया जाता है।

4A.P. के nवें पद का सूत्र लिखिए।›

उत्तर:

aₙ = a + (n − 1)d

5A.P. के n पदों के योग का मुख्य सूत्र लिखिए।›

उत्तर:

Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]

6यदि a = 2 और d = 5 हो, तो a₁₀ ज्ञात कीजिए।›

उत्तर:

a₁₀ = a + 9d = 2 + 9(5) = 2 + 45 = 47।

7A.P. 5, 11, 17, 23,... का सार्व अंतर क्या है?›

उत्तर:

d = a₂ − a₁ = 11 − 5 = 6।

8A.P. 21, 18, 15,... में d का मान क्या है?›

उत्तर:

d = 18 − 21 = −3।

9प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?›

उत्तर:

सूत्र n(n + 1)/2 = 10 × 11 / 2 = 55।

10यदि किसी A.P. का d = 0 हो, तो उसके पद कैसे होंगे?›

उत्तर:

श्रेढ़ी के सभी पद बिल्कुल एक समान होंगे (जैसे 5, 5, 5...)।

11यदि a = 8, d = −5 हो, तो 22वाँ पद क्या होगा?›

उत्तर:

a₂₂ = 8 + 21(−5) = 8 − 105 = −97।

12यदि a₁₁ = 38 और a₁₆ = 73 हो, तो d ज्ञात कीजिए।›

उत्तर:

a₁₆ − a₁₁ = 5d ⇒ 73 − 38 = 5d ⇒ 35 = 5d ⇒ d = 7।

130 और 50 के बीच सबसे बड़ी विषम संख्या कौन-सी है?›

उत्तर:

49।

141, 3, 5, ..., 49 में कुल कितने पद हैं?›

उत्तर:

49 = 1 + (n − 1)2 ⇒ 48 = 2(n − 1) ⇒ n − 1 = 24 ⇒ n = 25 पद।

15यदि अंतिम पद l दिया हो, तो Sₙ का संक्षिप्त सूत्र लिखिए।›

उत्तर:

Sₙ = n/2 (a + l)

16यदि a = 21, d = −3 और aₙ = −81 हो, तो n क्या है?›

उत्तर:

−81 = 21 + (n − 1)(−3) ⇒ −102 = −3(n − 1) ⇒ n = 35।

17A.P. 2, 7, 12, 17,... में 5वाँ पद क्या है?›

उत्तर:

a₅ = a + 4d = 2 + 4(5) = 22।

18यदि किसी A.P. में d = 5 हो, तो a₁₈ − a₁₃ का मान क्या होगा?›

उत्तर:

a₁₈ − a₁₃ = (18 − 13)d = 5d = 5 × 5 = 25।

191 से 100 तक की प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?›

उत्तर:

100 × 101 / 2 = 50 × 101 = 5050।

20A.P. में 'n' क्या दर्शाता है?›

उत्तर:

'n' पद के क्रम (स्थिति) अथवा पदों की कुल संख्या को दर्शाता है।

II. लघु उत्तरीय प्रश्न — 10 प्रश्न (Step-by-Step)

21जाँचिए कि 2, 4, 6, 8,... एक A.P. है या नहीं। कारण सहित लिखिए।›

समाधान:
चरण 1: क्रमागत पदों का अंतर निकालें:
a₂ − a₁ = 4 − 2 = 2
a₃ − a₂ = 6 − 4 = 2
a₄ − a₃ = 8 − 6 = 2
निष्कर्ष: चूँकि प्रत्येक दो क्रमागत पदों का अंतर d = 2 समान है, अतः यह एक समांतर श्रेढ़ी (A.P.) है।

22A.P. 10, 7, 4,... का 30वाँ पद ज्ञात कीजिए।›

समाधान:
चरण 1: प्रथम पद a = 10, सार्व अंतर d = 7 − 10 = −3, n = 30
चरण 2: aₙ = a + (n − 1)d
चरण 3: a₃₀ = 10 + (30 − 1)(−3) = 10 + 29(−3) = 10 − 87 = −77
अंतिम उत्तर: 30वाँ पद = −77।

23A.P. 21, 18, 15,... का कौन-सा पद 0 है?›

समाधान:
चरण 1: a = 21, d = 18 − 21 = −3, aₙ = 0
चरण 2: aₙ = a + (n − 1)d ⇒ 0 = 21 + (n − 1)(−3)
चरण 3: −21 = −3(n − 1) ⇒ n − 1 = 7 ⇒ n = 8
अंतिम उत्तर: श्रेढ़ी का 8वाँ पद 0 है।

24दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं?›

समाधान:
चरण 1: दो अंकों की 3 से विभाज्य संख्याएँ: 12, 15, 18, ..., 99
चरण 2: प्रथम पद a = 12, सार्व अंतर d = 3, अंतिम पद aₙ = 99
चरण 3: 99 = 12 + (n − 1)3 ⇒ 87 = 3(n − 1) ⇒ n − 1 = 29 ⇒ n = 30
अंतिम उत्तर: कुल 30 संख्याएँ हैं।

25यदि किसी A.P. के प्रथम 14 पदों का योग 1050 है तथा प्रथम पद 10 है, तो सार्व अंतर (d) ज्ञात कीजिए।›

समाधान:
चरण 1: n = 14, S₁₄ = 1050, a = 10
चरण 2: Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d] ⇒ 1050 = 14/2 [2(10) + (14 − 1)d]
चरण 3: 1050 = 7 [20 + 13d] ⇒ 150 = 20 + 13d
चरण 4: 13d = 130 ⇒ d = 10
अंतिम उत्तर: सार्व अंतर d = 10।

26A.P. 8, 3, −2,... के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए।›

समाधान:
चरण 1: a = 8, d = 3 − 8 = −5, n = 22
चरण 2: S₂₂ = 22/2 [2(8) + (22 − 1)(−5)]
चरण 3: = 11 [16 + 21(−5)] = 11 [16 − 105] = 11 × (−89) = −979
अंतिम उत्तर: S₂₂ = −979।

27यदि किसी A.P. का तीसरा पद 12 और 50वाँ पद 106 है, तो सार्व अंतर (d) ज्ञात कीजिए।›

समाधान:
चरण 1: a₃ = a + 2d = 12 ...(1)
चरण 2: a₅₀ = a + 49d = 106 ...(2)
चरण 3: समीकरण (2) में से (1) घटाने पर: 47d = 94 ⇒ d = 94/47 = 2
अंतिम उत्तर: सार्व अंतर d = 2।

280 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।›

समाधान:
चरण 1: विषम संख्याएँ: 1, 3, 5, ..., 49 (यहाँ a = 1, l = 49, d = 2)
चरण 2: पदों की संख्या: 49 = 1 + (n − 1)2 ⇒ n = 25
चरण 3: योग सूत्र: S₂₅ = n/2 (a + l) = 25/2 (1 + 49) = 25/2 × 50 = 25 × 25 = 625
अंतिम उत्तर: कुल योग = 625।

29यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो a और d ज्ञात कीजिए।›

समाधान:
चरण 1: S₇ = 7/2 [2a + 6d] = 49 ⇒ 2a + 6d = 14 ⇒ a + 3d = 7 ...(1)
चरण 2: S₁₇ = 17/2 [2a + 16d] = 289 ⇒ 2a + 16d = 34 ⇒ a + 8d = 17 ...(2)
चरण 3: घटाने पर: 5d = 10 ⇒ d = 2
चरण 4: a + 3(2) = 7 ⇒ a = 7 − 6 = 1
अंतिम उत्तर: प्रथम पद a = 1, सार्व अंतर d = 2।

30A.P. 3, 8, 13, ..., 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।›

समाधान:
चरण 1: a = 3, d = 8 − 3 = 5, अंतिम पद l = 253
चरण 2: अंत से nवें पद का सूत्र: aₙ(अंत से) = l − (n − 1)d
चरण 3: मान रखने पर: 253 − (20 − 1) × 5 = 253 − (19 × 5) = 253 − 95 = 158
अंतिम उत्तर: अंतिम पद से 20वाँ पद = 158।

III. दीर्घ उत्तरीय प्रश्न — 5 प्रश्न (Step-by-Step)

31एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।›

समाधान:
चरण 1: कुल पद n = 50, a₃ = 12, a₅₀ = 106
चरण 2: a + 2d = 12 ...(1) तथा a + 49d = 106 ...(2)
चरण 3: समीकरण (2) में से (1) घटाने पर: 47d = 94 ⇒ d = 2
चरण 4: d का मान समीकरण (1) में रखने पर: a + 2(2) = 12 ⇒ a = 12 − 4 = 8
चरण 5: 29वाँ पद ज्ञात करें: a₂₉ = a + 28d = 8 + 28(2) = 8 + 56 = 64
अंतिम उत्तर: 29वाँ पद = 64।

32यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।›

समाधान:
चरण 1: S₇ = 7/2 [2a + 6d] = 49 ⇒ a + 3d = 7 ...(1)
चरण 2: S₁₇ = 17/2 [2a + 16d] = 289 ⇒ a + 8d = 17 ...(2)
चरण 3: समीकरण (2) − (1) करने पर: 5d = 10 ⇒ d = 2
चरण 4: a = 7 − 3(2) = 1
चरण 5: n पदों का योग Sₙ = n/2 [2(1) + (n − 1)(2)] = n/2 [2 + 2n − 2] = n/2 [2n] = n²
अंतिम उत्तर: प्रथम n पदों का योग = n²।

33एक क्यारी की पहली पंक्ति में 23 पौधे, दूसरी में 21, तीसरी में 19 और अंतिम में 5 पौधे हैं। क्यारी में कुल पंक्तियों की संख्या और कुल पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।›

समाधान:
चरण 1: श्रेढ़ी: 23, 21, 19, ..., 5 (यहाँ a = 23, d = −2, अंतिम पद l = 5)
चरण 2 (पंक्तियों की संख्या n): 5 = 23 + (n − 1)(−2) ⇒ −18 = −2(n − 1) ⇒ n = 10 पंक्तियाँ
चरण 3 (कुल पौधे S₁₀): S₁₀ = n/2 (a + l) = 10/2 (23 + 5) = 5 × 28 = 140 पौधे
अंतिम उत्तर: कुल पंक्तियाँ = 10, कुल पौधे = 140।

34यदि किसी A.P. के प्रथम 14 पदों का योग 1050 और प्रथम पद 10 है, तो उसका 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।›

समाधान:
चरण 1: S₁₄ = 1050, a = 10, n = 14
चरण 2: 1050 = 14/2 [2(10) + 13d] ⇒ 1050 = 7 [20 + 13d] ⇒ 150 = 20 + 13d
चरण 3: 13d = 130 ⇒ d = 10
चरण 4: 20वाँ पद a₂₀ = a + 19d = 10 + 19(10) = 10 + 190 = 200
अंतिम उत्तर: 20वाँ पद = 200।

35किसी स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने का विचार किया। कक्षा 1 से 12 तक प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग (Section) अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। यदि प्रत्येक कक्षा के 3 अनुभाग हों, तो कुल कितने पेड़ लगाए जाएँगे?›

समाधान:
चरण 1: प्रत्येक कक्षा में 3 अनुभाग हैं:
कक्षा 1 द्वारा लगाए गए पेड़ = 3 × 1 = 3
कक्षा 2 द्वारा लगाए गए पेड़ = 3 × 2 = 6
कक्षा 12 द्वारा लगाए गए पेड़ = 3 × 12 = 36
चरण 2: A.P. बनी: 3, 6, 9, ..., 36। यहाँ a = 3, d = 3, n = 12, अंतिम पद l = 36
चरण 3: कुल पेड़ S₁₂ = n/2 (a + l) = 12/2 (3 + 36) = 6 × 39 = 234
अंतिम उत्तर: विद्यार्थियों द्वारा कुल 234 पेड़ लगाए जाएँगे।

📝 6. 50 प्रश्नों का MCQ Test

Attempted: 0 / 500%

📌 किसी विकल्प पर क्लिक करते ही सही उत्तर ✓ हरे रंग में और गलत चुना गया उत्तर ✕ लाल रंग में दिखेगा। उत्तर देने के बाद प्रश्न लॉक हो जाएगा।

Q1. AP: 2, 7, 12, ... का सार्व अंतर (Common Difference) क्या है?

व्याख्या: सार्व अंतर (d) = दूसरा पद − पहला पद = 7 − 2 = 5।

Q2. यदि किसी AP का पहला पद 4 और सार्व अंतर -3 है, तो दूसरा पद क्या होगा?

व्याख्या: दूसरा पद = a + d = 4 + (−3) = 1।

Q3. AP: 10, 7, 4, ... का 30वाँ पद क्या है?

व्याख्या: a = 10, d = −3 ⇒ a₃₀ = 10 + 29(−3) = 10 − 87 = −77।

Q4. यदि किसी AP का nवाँ पद (3n + 5) है, तो इसका सार्व अंतर क्या होगा?

व्याख्या: रैखिक व्यंजक an + b में n का गुणांक ही सार्व अंतर होता है। अतः d = 3।

Q5. AP: 3, 1, -1, -3, ... का सार्व अंतर क्या है?

व्याख्या: d = 1 − 3 = −2।

Q6. प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं का योग क्या होगा?

व्याख्या: Σn = n(n + 1)/2 = 10 × 11 / 2 = 55।

Q7. निम्नलिखित में से कौन समांतर श्रेढ़ी (AP) है?

व्याख्या: विकल्प (c) में d = −6 − (−10) = 4, −2 − (−6) = 4, 2 − (−2) = 4 समान है।

Q8. यदि AP का सार्व अंतर 5 है, तो a₁₈ - a₁₃ का मान क्या होगा?

व्याख्या: a₁₈ − a₁₃ = (18 − 13)d = 5d = 5 × 5 = 25।

Q9. AP का सामान्य पद (General Term) निकालने का सूत्र क्या है?

व्याख्या: सही सूत्र aₙ = a + (n − 1)d है।

Q10. AP: 21, 18, 15, ... का कौन सा पद शून्य (0) है?

व्याख्या: 0 = 21 + (n − 1)(−3) ⇒ 3(n − 1) = 21 ⇒ n = 8।

Q11. 1 से 100 तक की सभी प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

व्याख्या: 100 × 101 / 2 = 5050।

Q12. AP: -3, -1/2, 2, ... का 11वाँ पद है:

व्याख्या: d = −1/2 − (−3) = 5/2 ⇒ a₁₁ = −3 + 10(5/2) = −3 + 25 = 22।

Q13. दो अंकों वाली कितनी संख्याएं 3 से विभाज्य हैं?

व्याख्या: 12 से 99 तक कुल संख्याएँ: 99 = 12 + (n − 1)3 ⇒ n = 30।

Q14. यदि AP के प्रथम पद 'a' और सार्व अंतर 'd' हों, तो n पदों का योग (Sn) क्या होगा?

व्याख्या: योग का मानक सूत्र n/2 [2a + (n − 1)d] है।

Q15. AP: 2, 6, 10, 14 ... का कौन सा पद 82 है?

व्याख्या: 82 = 2 + (n − 1)4 ⇒ 4(n − 1) = 80 ⇒ n = 21।

Q16. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग क्या होगा?

व्याख्या: a = 8, l = 120 ⇒ S₁₅ = 15/2 (8 + 120) = 15 × 64 = 960।

Q17. यदि a, b, c AP में हैं, तो b का मान क्या होगा?

व्याख्या: समांतर माध्य b = (a + c)/2 होता है।

Q18. AP: 0.6, 1.7, 2.8, ... का सार्व अंतर क्या है?

व्याख्या: d = 1.7 − 0.6 = 1.1।

Q19. यदि 4/5, a, 2 किसी AP के तीन क्रमागत पद हैं, तो a का मान क्या है?

व्याख्या: a = (4/5 + 2)/2 = (14/5)/2 = 7/5।

Q20. AP: 5, 8, 11, ... का 10वाँ पद क्या है?

व्याख्या: a₁₀ = 5 + 9(3) = 5 + 27 = 32।

Q21. यदि प्रथम पद a = 5 और अंतिम पद l = 45 हो, और योग 400 हो, तो पदों की संख्या (n) कितनी है?

व्याख्या: 400 = n/2 (5 + 45) ⇒ 400 = 25n ⇒ n = 16।

Q22. AP में 'd' (सार्व अंतर) कैसा हो सकता है?

व्याख्या: सार्व अंतर धनात्मक, ऋणात्मक अथवा शून्य कुछ भी हो सकता है।

Q23. प्रथम 200 प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

व्याख्या: 200 × 201 / 2 = 100 × 201 = 20100।

Q24. AP: √2, √8, √18, √32... का सार्व अंतर क्या है?

व्याख्या: √8 = 2√2, अतः d = 2√2 − √2 = √2।

Q25. यदि किसी AP का सार्व अंतर 5 है, तो a₁₀ - a₅ का मान क्या होगा?

व्याख्या: a₁₀ − a₅ = 5d = 5 × 5 = 25।

Q26. AP: 13, 19, ..., 205 में पदों की संख्या कितनी है?

व्याख्या: 205 = 13 + (n − 1)6 ⇒ 192 = 6(n − 1) ⇒ n = 33।

Q27. यदि AP का nवाँ पद 5 - 3n है, तो इसका सार्व अंतर है:

व्याख्या: aₙ = −3n + 5 में n का गुणांक −3 है, अतः d = −3।

Q28. 21, 18, 15... का कौन सा पद -81 है?

व्याख्या: −81 = 21 + (n − 1)(−3) ⇒ n = 35।

Q29. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग क्या है?

व्याख्या: कुल 25 विषम संख्याएँ हैं। योग = n² = 25² = 625।

Q30. यदि 18, a, b, -3 AP में हैं, तो a + b का मान क्या होगा?

व्याख्या: a + b = 18 + (−3) = 15 (समदूरस्थ पदों का योग समान होता है)।

Q31. समांतर श्रेढ़ी -10, -6, -2, 2, ... का सार्व अंतर क्या है?

व्याख्या: d = −6 − (−10) = 4।

Q32. किसी AP का दूसरा पद 13 और 5वाँ पद 25 है, तो सार्व अंतर क्या है?

व्याख्या: 3d = 25 − 13 = 12 ⇒ d = 4।

Q33. प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का योग क्या होता है?

व्याख्या: विषम संख्याओं का योग सदैव n² होता है।

Q34. AP: 2, 7, 12, ... के प्रथम 10 पदों का योग क्या होगा?

व्याख्या: S₁₀ = 5 [4 + 45] = 5 × 49 = 245।

Q35. क्या अनुक्रम 5, 11, 17, 23, ... में कोई पद 301 हो सकता है?

व्याख्या: 301 = 5 + (n − 1)6 ⇒ 296/6 पूर्णांक नहीं है, अतः नहीं।

Q36. 3 के प्रथम 5 गुणजों का योग है:

व्याख्या: 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45।

Q37. यदि किसी AP का पहला पद -2 और अंतर -2 हो, तो पहले 4 पद होंगे:

व्याख्या: -2 में -2 जोड़ते जाने पर: -2, -4, -6, -8 प्राप्त होता है।

Q38. यदि AP का 7वाँ पद 4 और अंतर -4 है, तो पहला पद क्या है?

व्याख्या: a + 6(-4) = 4 ⇒ a − 24 = 4 ⇒ a = 28।

Q39. AP के लगातार पदों के अंतर को क्या कहते हैं?

व्याख्या: इसे 'सार्व अंतर' (Common Difference) कहा जाता है।

Q40. यदि Sₙ = 3n² + n है, तो इसका दूसरा पद क्या है?

व्याख्या: S₁ = 4, S₂ = 3(4) + 2 = 14 ⇒ a₂ = S₂ − S₁ = 14 − 4 = 10।

Q41. AP: a, 3a, 5a, ... का nवाँ पद क्या होगा?

व्याख्या: aₙ = a + (n − 1)2a = a + 2na − 2a = (2n − 1)a।

Q42. प्रथम 100 सम प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

व्याख्या: सम संख्याओं का योग = n(n + 1) = 100 × 101 = 10100।

Q43. यदि x+2, 3x और 4x+1 AP में हैं, तो x का मान है:

व्याख्या: 2(3x) = (x + 2) + (4x + 1) ⇒ 6x = 5x + 3 ⇒ x = 3।

Q44. किसी AP का 6ठा और 12वाँ पद क्रमशः 13 और 25 हैं, इसका 20वाँ पद है:

व्याख्या: 6d = 12 ⇒ d = 2, a = 3 ⇒ a₂₀ = 3 + 19(2) = 41।

Q45. AP: 2, ..., 20, 29 में रिक्त स्थान पर क्या आएगा?

व्याख्या: 29 − 20 = 9 ⇒ सार्व अंतर d = 9 है। अतः दूसरा पद = 2 + 9 = 11।

Q46. 107 और 253 के बीच (दोनों को छोड़कर) 5 से विभाज्य संख्याओं की संख्या है:

व्याख्या: 110, 115, ..., 250 ⇒ n = (250 − 110)/5 + 1 = 29।

Q47. यदि a, b, c, d, e AP में हैं, तो a - 4b + 6c - 4d + e का मान क्या होगा?

व्याख्या: a, b, c, d, e को 1, 2, 3, 4, 5 मानकर मान रखने पर परिणाम 0 आता है।

Q48. AP: 25, 20, 15, ... का पहला ऋणात्मक (Negative) पद कौन सा होगा?

व्याख्या: 25, 20, 15, 10, 5, 0, −5। अतः −5 सातवाँ पद है।

Q49. यदि किसी AP के p पदों का योग q है और q पदों का योग p है, तो (p+q) पदों का योग क्या होगा?

व्याख्या: यह मानक गणितीय परिणाम है, इसका मान −(p + q) होता है।

Q50. किसी AP में यदि Sn = 5n² + 3n हो, तो उसका सार्व अंतर (d) क्या होगा?

व्याख्या: Sₙ के द्विघात व्यंजक में n² के गुणांक का दुगना ही सार्व अंतर होता है: 5 × 2 = 10।

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