कक्षा 10 गणित अध्याय 11: रचनाएँ | नोट्स, प्रश्न-उत्तर व MCQ टेस्ट | Bihar Board

कक्षा 10 • गणित • बिहार बोर्ड / NCERT

अध्याय 11 : रचनाएँ (Constructions)

संपूर्ण अध्यायवार नोट्स, मुख्य प्रमेय, चरणबद्ध रचनाएँ और 50 MCQ टेस्ट

📖 अध्यायवार नोट्स ✍️ हल सहित चरण 🎯 50 MCQ टेस्ट

भूमिका रेखाखंड विभाजन समरूप त्रिभुज स्पर्श रेखाएँ सारांश प्रश्नोत्तर 50 MCQ टेस्ट

📖 1. भूमिका — रचनाएँ क्यों महत्वपूर्ण हैं?

मैं जब भी यह अध्याय अपनी कक्षा में शुरू करता हूँ, छात्रों से एक बात कहता हूँ — "गणित में कुछ चीजें बीजगणित से सिद्ध करनी होती हैं, और कुछ चीजें शुद्ध ज्यामितीय औजारों (पटरी और परकार) से साकार करनी होती हैं।" यह अध्याय उन्हीं ज्यामितीय आकृतियों का है जिन्हें हम बिना किसी अनुमान के, पूर्ण सटीकता के साथ कागज पर उतारते हैं।

कक्षा 10 के पाठ्यक्रम में मुख्य रूप से तीन प्रकार की रचनाएँ पूछी जाती हैं:

1. रेखाखंड का विभाजन

दिए गए रेखाखंड को m : n के अनुपात में अंतर्विभाजित करना।

2. समरूप त्रिभुज का निर्माण

दिए गए स्केल गुणक (m/n) के अनुसार छोटा या बड़ा समरूप त्रिभुज बनाना।

3. वृत्त की स्पर्श रेखाएँ

वृत्त के किसी बिंदु पर या बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखा युग्म खींचना।

4. रचना का औचित्य (Justification)

BPT, समरूपता और समकोण प्रमेय द्वारा रचना को गणितीय रूप से सिद्ध करना।

💡 शिक्षक की क्लासरूम सलाह: छात्र अक्सर चाप लगाकर चित्र तो बना लेते हैं, लेकिन रचना के चरण और औचित्य लिखना छोड़ देते हैं। बिहार बोर्ड परीक्षा में पूरे 5 अंक प्राप्त करने के लिए रचना के चरण और आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) पर आधारित औचित्य लिखना अनिवार्य है।

📏 2. पहली रचना — रेखाखंड को दिए गए अनुपात m:n में विभाजित करना

मान लीजिए, आपके पास एक रेखाखंड AB है और आपको इसे 3 : 2 के अनुपात में बाँटना है। इसका अर्थ है कि पूरे रेखाखंड के कुल 3 + 2 = 5 बराबर हिस्से होंगे, जिनमें बिंदु C ऐसा होगा कि AC : CB = 3 : 2 हो।

चरणबद्ध रचना विधि (Step-by-Step):

1

दी गई लंबाई का रेखाखंड AB खींचिए।

2

बिंदु A से नीचे की ओर कोई न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण AX खींचिए।

3

किरण AX पर परकार की सहायता से समान त्रिज्या के m + n चाप लगाइए (जैसे 3:2 के लिए 3 + 2 = 5 बिंदु: A₁, A₂, A₃, A₄, A₅)।

4

अंतिम बिंदु A₅ को रेखाखंड के दूसरे सिरे B से मिलाइए (A₅B खींचिए)।

5

बिंदु A₃ से रेखाखंड A₅B के समांतर एक रेखा A₃C खींचिए जो AB को बिंदु C पर काटे।

निष्कर्ष: बिंदु C रेखाखंड AB को 3:2 के अनुपात में विभाजित करता है (AC : CB = 3 : 2)।

औचित्य (Justification):
ΔABA₅ में A₃C ∥ A₅B है।
अतः आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Thales Theorem / BPT) से:
AC / CB = AA₃ / A₃A₅
चूँकि रचना से AA₃ में 3 भाग और A₃A₅ में 2 भाग हैं, अतः AA₃ / A₃A₅ = 3/2
इसलिए AC / CB = 3 / 2 सिद्ध होता है।

⚠️ सामान्य गलती: छात्र अक्सर समांतर रेखा खींचते समय कोण बराबर नहीं नापते। याद रखें: A₃ पर वही कोण बनाना है जो A₅ पर बना है (संगत कोण बराबर होने पर ही रेखाएँ समांतर होती हैं)।

📐 3. दूसरी रचना — स्केल गुणक (Scale Factor) के आधार पर समरूप त्रिभुज बनाना

यहाँ मुख्य सिद्धांत स्केल गुणक m/n का है। परीक्षा में दो स्थितियाँ आती हैं:

• स्थिति I (स्केल गुणक < 1, जैसे 3/4): नया त्रिभुज मूल त्रिभुज से छोटा और उसके अंदर बनेगा।
• स्थिति II (स्केल गुणक > 1, जैसे 5/3): नया त्रिभुज मूल त्रिभुज से बड़ा और उसके बाहर विस्तारित भुजाओं पर बनेगा।

स्केल गुणक 3/4 (छोटा त्रिभुज)

नया त्रिभुज मूल त्रिभुज की प्रत्येक भुजा का 3/4 गुना होता है।

स्केल गुणक 5/3 (बड़ा त्रिभुज)

नया त्रिभुज मूल त्रिभुज की प्रत्येक भुजा का 5/3 गुना होता है।

💡 शिक्षक का याद रखने का नियम: किरण BX पर कुल कितने बिंदु लगाएँ? हमेशा याद रखें — अंश और हर में से जो संख्या बड़ी हो, उतने बिंदु लगाइए! उदाहरण के लिए: 3/4 में बड़ा 4 है, तो 4 बिंदु। 5/3 में बड़ा 5 है, तो 5 बिंदु। फिर हर (Denominator) वाले बिंदु को हमेशा बिंदु C से मिलाइए!

⭕ 4. तीसरी रचना — किसी वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ (Tangents) खींचना

वृत्त के बाह्य बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएँ खींचने के लिए अर्धवृत्त में बने समकोण की प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

चरणबद्ध रचना विधि:

1

दिए गए केंद्र O और त्रिज्या r का वृत्त खींचिए तथा बाह्य बिंदु P लीजिए।

2

केंद्र O को P से मिलाकर रेखाखंड OP खींचिए।

3

OP का लम्ब समद्विभाजक (Perpendicular Bisector) खींचकर उसका मध्य बिंदु M ज्ञात कीजिए।

4

M को केंद्र और MO = MP त्रिज्या लेकर एक सहायक वृत्त खींचिए जो मूल वृत्त को बिंदुओं Q और R पर काटे।

5

P को Q और R से मिलाइए। PQ और PR ही अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

स्पर्श रेखा की लंबाई: PT = √(OP² − r²)

📌 5. परीक्षा सारांश — क्विक रिवीजन

• m:n विभाजन: किरण पर m + n चाप लगाएँ। m-वें बिंदु से समांतर रेखा खींचें।
• समरूप त्रिभुज: किरण पर max(m, n) चाप लगाएँ। हर वाले बिंदु को C से मिलाएँ।
• स्पर्श रेखा युग्म: OP का मध्य बिंदु M निकालें और सहायक वृत्त खींचकर कटान बिंदु प्राप्त करें।
• स्पर्श रेखाओं का कोण: यदि स्पर्श रेखाओं के बीच θ कोण चाहिए, तो केंद्र पर त्रिज्याओं के बीच 180° − θ का कोण बनाएँ।
• औचित्य: रचना के साथ BPT या RHS सर्वांगसमता का तर्क अवश्य लिखें।

❓ अभ्यास प्रश्नोत्तर — Step-by-Step समाधान

प्रश्न पर क्लिक करके उत्तर खोलें।

अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1. रेखाखंड को m:n अनुपात में विभाजित करने के लिए किरण AX पर कुल कितने बराबर बिंदु अंकित किए जाते हैं?

उत्तर: किरण AX पर कुल m + n बराबर बिंदु अंकित किए जाते हैं।

प्रश्न 2. वृत्त की स्पर्श रेखा और स्पर्श-बिंदु से जाने वाली त्रिज्या के बीच कितना कोण होता है?

उत्तर: सदैव 90° (समकोण) होता है।

प्रश्न 3. यदि समरूप त्रिभुज का स्केल गुणक 3/4 है, तो नया त्रिभुज मूल त्रिभुज से कैसा होगा?

उत्तर: चूँकि 3/4 < 1 है, अतः नया त्रिभुज मूल त्रिभुज से छोटा होगा।

प्रश्न 4. वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

उत्तर: शून्य (0), क्योंकि अंदर से खींची गई कोई भी रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटेगी (छेदक बनेगी)।

प्रश्न 5. वृत्त के बाह्य बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

उत्तर: ठीक 2 स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं और दोनों की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

प्रश्न 6. समरूप त्रिभुज की रचना में यदि स्केल गुणक 5/3 हो, तो किरण पर कितने चाप लगाए जाएँगे?

उत्तर: अंश और हर में से बड़ी संख्या 5 है, अतः किरण पर 5 बराबर चाप लगाए जाएँगे।

प्रश्न 7. परकार और पटरी की सहायता से 75° का कोण किन दो कोणों के समद्विभाजन से बनता है?

उत्तर: 60° और 90° के समद्विभाजन से: (60° + 90°)/2 = 150°/2 = 75°।

प्रश्न 8. वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच क्या संबंध होता है?

उत्तर: वे परस्पर समांतर (Parallel) होती हैं।

प्रश्न 9. रेखाखंड के लंब समद्विभाजक के लिए परकार को कितना खोलना अनिवार्य है?

उत्तर: रेखाखंड की लंबाई के आधे से अधिक (More than half)।

प्रश्न 10. वृत्त पर स्पर्श रेखाओं के बीच 70° का कोण बनाने के लिए केंद्र पर कितना कोण बनाना होगा?

उत्तर: 180° − 70° = 110° (क्योंकि दोनों कोण संपूरक होते हैं)।

लघु उत्तरीय प्रश्न (Step-by-Step)

प्रश्न 11. रेखाखंड AB = 7.6 cm को 5:8 के अनुपात में बाँटने पर दोनों भागों की लंबाइयों की गणना कीजिए।

चरणबद्ध हल:

1. चरण 1
   अनुपातों का योग = 5 + 8 = 13 तथा कुल लंबाई = 7.6 cm।
2. चरण 2
   पहला भाग AC = (5 / 13) × 7.6 = 38 / 13 ≈ 2.92 cm।
3. चरण 3
   दूसरा भाग CB = (8 / 13) × 7.6 = 60.8 / 13 ≈ 4.68 cm। (जाँच: 2.92 + 4.68 = 7.60 cm)

प्रश्न 12. 5 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 13 cm दूर स्थित बिंदु P से स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

चरणबद्ध हल:

1. चरण 1
   स्पर्श-बिंदु T पर त्रिज्या लंबवत होती है, अतः ΔOTP समकोण त्रिभुज है जहाँ कर्ण OP = 13 cm और त्रिज्या OT = 5 cm।
2. चरण 2
   पाइथागोरस प्रमेय से: PT = √(OP² − OT²) = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm।

प्रश्न 13. 5 cm त्रिज्या के वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों। केंद्र पर कोण की गणना कीजिए।

चरणबद्ध हल:

1. चरण 1
   बाह्य बिंदु पर स्पर्श रेखाओं का कोण और केंद्र पर त्रिज्याओं का कोण संपूरक (योग = 180°) होते हैं।
2. चरण 2
   अतः केंद्र पर कोण = 180° − 60° = 120°। (केंद्र पर 120° की त्रिज्याएँ खींचकर लंब बनाएँगे)।

प्रश्न 14. एक दिए गए त्रिभुज ABC के समरूप त्रिभुज बनाना है जिसकी भुजाएँ 5/3 गुनी हों। इसके मुख्य रचना चरण लिखिए।

चरणबद्ध हल:

1. चरण 1
   ΔABC बनाएँ और भुजा BC से नीचे न्यूनकोण बनाती किरण BX खींचें।
2. चरण 2
   BX पर 5 बराबर चाप B₁, B₂, B₃, B₄, B₅ लगाएँ (चूँकि 5/3 में 5 बड़ा है)।
3. चरण 3
   हर वाले बिंदु B₃ को C से मिलाएँ तथा B₅ से समांतर रेखा खींचकर त्रिभुज पूर्ण करें।

प्रश्न 15. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण केंद्र पर बने कोण का संपूरक होता है।

चरणबद्ध हल:

1. चरण 1
   चतुर्भुज OAPB में त्रिज्या और स्पर्श रेखा लंबवत होती हैं, अतः ∠OAP = 90° और ∠OBP = 90°।
2. चरण 2
   चतुर्भुज के कोणों का योग 360° होता है: ∠APB + ∠AOB + 90° + 90° = 360° ⇒ ∠APB + ∠AOB = 180°।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Step-by-Step)

प्रश्न 16. 6 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। केंद्र से 10 cm दूर स्थित एक बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए तथा गणना द्वारा जाँच कीजिए।

चरणबद्ध हल:

1. चरण 1
   केंद्र O से 10 cm दूर बिंदु P लें और OP का लंब समद्विभाजक खींचकर मध्य बिंदु M प्राप्त करें।
2. चरण 2
   M को केंद्र मानकर MO त्रिज्या से सहायक वृत्त खींचें जो मूल वृत्त को Q और R पर काटे। PQ और PR स्पर्श रेखाएँ हैं।
3. चरण 3
   गणना: PQ = √(OP² − OQ²) = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 cm।

प्रश्न 17. त्रिभुज ABC (BC=6cm, AB=5cm, ∠ABC=60°) के समरूप 3/4 गुनी भुजाओं वाले त्रिभुज की रचना कीजिए और औचित्य दीजिए।

चरणबद्ध हल:

1. चरण 1
   दी गई माप से ΔABC की रचना करें।
2. चरण 2
   B से न्यूनकोण किरण पर 4 चाप लगाएँ। B₄ को C से मिलाएँ। B₃ से समांतर रेखा खींचकर C' प्राप्त करें।
3. चरण 3
   औचित्य: BPT प्रमेय से BC'/BC = 3/4, अतः नया त्रिभुज संगत भुजाओं का 3/4 गुना है।

प्रश्न 18. 4, 5 और 6 cm भुजाओं वाले त्रिभुज के समरूप 5/3 गुनी भुजाओं वाले त्रिभुज की रचना कीजिए।

चरणबद्ध हल:

1. चरण 1
   6 cm आधार लेकर SSS नियम से ΔABC बनाएँ।
2. चरण 2
   किरण BX पर 5 चाप लगाएँ। हर वाले बिंदु B₃ को C से मिलाएँ।
3. चरण 3
   बढ़ाई गई भुजाओं पर समांतर रेखाएँ खींचकर बड़ा समरूप त्रिभुज ΔA'BC' प्राप्त करें।

प्रश्न 19. 3 cm त्रिज्या के वृत्त के व्यास को दोनों ओर 7 cm बढ़ाकर बाह्य बिंदुओं से स्पर्श रेखाएँ खींचिए।

चरणबद्ध हल:

1. चरण 1
   केंद्र O से दोनों ओर OP = 7 cm और OQ = 7 cm अंकित करें।
2. चरण 2
   सहायक वृत्तों की विधि से दोनों बिंदुओं से कुल 4 स्पर्श रेखाएँ खींचें जिनकी लंबाई √(7² − 3²) = 2√10 cm होगी।

प्रश्न 20. 8 cm लंबा रेखाखंड AB खींचें। A से 4 cm और B से 3 cm त्रिज्या के वृत्त खींचकर परस्पर केंद्र से स्पर्श रेखाएँ बनाएँ।

चरणबद्ध हल:

1. चरण 1
   AB = 8 cm खींचकर दोनों सिरों पर क्रमशः 4 cm और 3 cm त्रिज्या के वृत्त बनाएँ।
2. चरण 2
   AB का मध्य बिंदु M लेकर 4 cm त्रिज्या का सहायक वृत्त खींचें जो दोनों वृत्तों को कटान बिंदु दे। इनसे स्पर्श रेखाएँ पूरी होंगी।

50 प्रश्नों का MCQ टेस्ट

किसी विकल्प को चुनते ही सही/गलत संकेत और व्याख्या दिखाई देगी। अंत में “टेस्ट सबमिट करें” दबाकर अपना परिणाम देखें।

0 / 50

प्रश्न 1. वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूने वाली रेखा कहलाती है?

A. छेदक रेखा B. स्पर्श रेखा C. व्यास D. जीवा

प्रश्न 2. वृत्त को दो बिंदुओं पर काटने वाली रेखा क्या है?

A. स्पर्श रेखा B. त्रिज्या C. छेदक रेखा D. अभिलंब

प्रश्न 3. स्पर्श-बिंदु पर त्रिज्या और स्पर्श रेखा का कोण होता है:

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

प्रश्न 4. वृत्त के अंदर के बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ बनती हैं?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

प्रश्न 5. वृत्त पर स्थित बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ बनती हैं?

A. 0 B. 1 C. 2 D. अनंत

प्रश्न 6. वृत्त के बाहर के बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ बनती हैं?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

प्रश्न 7. बाहरी बिंदु से खींची स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ:

A. असमान B. बराबर C. दोगुनी D. शून्य

प्रश्न 8. यदि OP केंद्र से स्पर्श रेखा पर स्पर्श-बिंदु P तक त्रिज्या है, तो:

A. OP स्पर्श रेखा के समानांतर है B. OP स्पर्श रेखा पर लंब है C. OP स्पर्श रेखा के बराबर है D. कोई संबंध नहीं

प्रश्न 9. यदि OP = 13 cm और त्रिज्या OT = 5 cm है, तो PT कितना है?

A. 8 cm B. 10 cm C. 12 cm D. 18 cm

प्रश्न 10. यदि त्रिज्या 7 cm और केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी 25 cm है, तो स्पर्श रेखा की लंबाई है:

A. 18 cm B. 24 cm C. 26 cm D. 32 cm

प्रश्न 11. स्पर्श-बिंदु पर त्रिज्या किस पर लंब होती है?

A. जीवा B. व्यास C. स्पर्श रेखा D. केंद्र से बाहरी बिंदु तक रेखा

प्रश्न 12. वृत्त के परिगत चतुर्भुज में:

A. सभी भुजाएँ बराबर B. सम्मुख भुजाओं के योग बराबर C. विकर्ण बराबर D. सभी कोण 90°

प्रश्न 13. वृत्त की त्रिज्या 6 cm और केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी 10 cm है। स्पर्श रेखा:

A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 16 cm

प्रश्न 14. यदि दो स्पर्श रेखाओं के बीच बाहरी बिंदु पर कोण 80° है, तो केंद्र पर कोण:

A. 80° B. 90° C. 100° D. 180°

प्रश्न 15. वृत्त और स्पर्श रेखा का साझा बिंदु कहलाता है:

A. केंद्र B. शीर्ष C. स्पर्श-बिंदु D. मध्यबिंदु

प्रश्न 16. यदि केंद्र O और बाहरी बिंदु P से स्पर्श रेखाएँ PQ, PR हैं, तो कौन-सी भुजाएँ बराबर हैं?

A. OQ और PQ B. PQ और PR C. OP और PQ D. OQ और OP

प्रश्न 17. समकोण त्रिभुज OPT में OP = 17 और OT = 8 हो, तो PT:

A. 9 B. 12 C. 15 D. 25

प्रश्न 18. बड़े समकेंद्रित वृत्त की त्रिज्या 10 cm और छोटे की 6 cm है। छोटे वृत्त को स्पर्श करने वाली बड़े वृत्त की जीवा की लंबाई:

A. 8 cm B. 12 cm C. 16 cm D. 20 cm

प्रश्न 19. स्पर्श रेखा, छेदक रेखा की कौन-सी स्थिति है?

A. समानांतर स्थिति B. विशेष स्थिति C. लंब स्थिति हमेशा D. कोई नहीं

प्रश्न 20. यदि बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखा 15 cm और केंद्र दूरी 17 cm है, तो त्रिज्या:

A. 4 cm B. 8 cm C. √514 cm D. 32 cm

प्रश्न 21. यदि दो स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ 3x−2 और x+8 हैं, तो x:

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

प्रश्न 22. वृत्त के केंद्र से स्पर्श रेखा पर लंब खींचने से कौन-सा कोण बनता है?

A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°

प्रश्न 23. यदि स्पर्श रेखा की लंबाई 12 cm और त्रिज्या 5 cm है, तो केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी:

A. 7 cm B. 13 cm C. 17 cm D. √119 cm

प्रश्न 24. वृत्त के परिगत चतुर्भुज में AB=7, BC=5, CD=9 हो, तो AD:

A. 3 B. 7 C. 11 D. 21

प्रश्न 25. एक बिंदु वृत्त से बाहर है। उससे स्पर्श रेखाएँ खींचने पर:

A. केवल एक संभव B. दो संभव C. कोई संभव नहीं D. तीन संभव

प्रश्न 26. यदि ∠QPR = 60° दो स्पर्श रेखाओं के बीच कोण है, तो ∠QOR:

A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°

प्रश्न 27. यदि त्रिज्या 9 cm और स्पर्श रेखा 12 cm है, तो केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी:

A. 15 cm B. 18 cm C. 21 cm D. 3 cm

प्रश्न 28. स्पर्श रेखा की लंबाई का सही सूत्र है:

A. r+d B. √(d²−r²) C. √(r²−d²) D. d−r

प्रश्न 29. किसी वृत्त के एक निश्चित बिंदु पर स्पर्श रेखाओं की संख्या:

A. 0 B. 1 C. 2 D. अनंत

प्रश्न 30. यदि OP केंद्र से बाहरी बिंदु तक की दूरी है, तो बाहरी बिंदु के लिए:

A. OP < r B. OP = r C. OP > r D. OP = 0

प्रश्न 31. RHS सर्वांगसमता में R का अर्थ है:

A. रंग B. समकोण (Right angle) C. त्रिज्या D. समानांतर

प्रश्न 32. स्पर्श रेखा प्रमेय 10.2 में सर्वांगसमता का नियम है:

A. SSS B. ASA C. RHS D. AAA

प्रश्न 33. यदि केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी 26 cm और त्रिज्या 10 cm हो, तो स्पर्श रेखा:

A. 16 cm B. 24 cm C. 36 cm D. √776 cm

प्रश्न 34. यदि दो स्पर्श रेखाओं के बीच कोण 110° है, तो केंद्र कोण:

A. 70° B. 90° C. 110° D. 180°

प्रश्न 35. त्रिज्या 5 cm और स्पर्श रेखा 20 cm हो, तो केंद्र दूरी:

A. 15 cm B. 20 cm C. 5√17 cm D. 25 cm

प्रश्न 36. वृत्त के परिगत चतुर्भुज की चारों भुजाएँ:

A. वृत्त को काटती हैं B. वृत्त को स्पर्श करती हैं C. त्रिज्या होती हैं D. व्यास होती हैं

प्रश्न 37. एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ:

A. हमेशा असमान B. बराबर C. दोगुनी D. शून्य

प्रश्न 38. यदि PT = 4 cm और PR भी P से खींची स्पर्श रेखा है, तो PR:

A. 2 cm B. 4 cm C. 8 cm D. 16 cm

प्रश्न 39. यदि त्रिज्या 3 cm और केंद्र दूरी 5 cm है, स्पर्श रेखा:

A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 8 cm

प्रश्न 40. केंद्र से जीवा पर खींचा लंब जीवा को:

A. दोगुना करता है B. समद्विभाजित करता है C. स्पर्श करता है D. समांतर करता है

प्रश्न 41. यदि बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ x+2 और 2x−3 हैं, x:

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

प्रश्न 42. यदि OP=10 cm और त्रिज्या 8 cm हो, स्पर्श रेखा:

A. 2 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 18 cm

प्रश्न 43. यदि केंद्र कोण 130° है, दो स्पर्श रेखाओं के बीच कोण:

A. 40° B. 50° C. 130° D. 180°

प्रश्न 44. स्पर्श-बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या को स्पर्श रेखा के सापेक्ष कहा जाता है:

A. समानांतर B. लंबवत C. तिरछी D. समांतर नहीं

प्रश्न 45. किसी बाहरी बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ खींचने पर बनने वाले त्रिभुज OQP और ORP होते हैं:

A. समकोण त्रिभुज B. समबाहु त्रिभुज C. अधिककोण त्रिभुज D. असम्भव

प्रश्न 46. यदि त्रिज्या 12 cm और केंद्र दूरी 13 cm हो, स्पर्श रेखा:

A. 1 cm B. 5 cm C. 12 cm D. 25 cm

प्रश्न 47. यदि परिगत चतुर्भुज में AB+CD=20 और BC=7 हो, AD:

A. 7 B. 13 C. 20 D. 27

प्रश्न 48. वृत्त को एक बिंदु पर छूने वाली रेखा और उस बिंदु का नाम क्रमशः:

A. छेदक, केंद्र B. स्पर्श रेखा, स्पर्श-बिंदु C. जीवा, व्यास D. व्यास, त्रिज्या

प्रश्न 49. यदि केंद्र दूरी 25 cm और त्रिज्या 15 cm हो, स्पर्श रेखा:

A. 10 cm B. 15 cm C. 20 cm D. 40 cm

प्रश्न 50. प्रमेय 10.1 का मुख्य निष्कर्ष:

A. स्पर्श रेखाएँ बराबर B. त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब C. व्यास जीवा से छोटा D. केंद्र कोण 90°

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